Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Возможность преобразовывать матрицы операторов (формула (6)) посредством перехода к новому базису заставляет представить матрицу оператора в более удобном для преобразования виде с сохранением её ранга. Это диагональный вид матрицы. Пусть оператор представлен недиагональной матрицей А = в произвольном базисе е. Можно ли перейти к новому базису, в котором оператор будет иметь диагональную матрицу?

Определение1. Ненулевой вектор х называется собственным вектором линейного оператора, если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

= λ ∙х (7)

Среди векторов линейного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R² оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (7) в матричной форме А·Х = λ·Х. Преобразуем матричное уравнение А·Х - λ·Х = 0, А·Х - λ·Е·Х = 0, (А - λ·Е)· Х = 0,

где Е – единичная матрица порядка n, а вектор Х = размера n⤫1.

Матричное уравнение (А - λ·Е)· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:

(8)

Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нул ю: det (A – λE)=0

или = 0 (9)

Левая часть уравнения (9) называется характеристическим многочленом матрицы А: det (A – λE). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.

Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А и обладают следующими свойствами:

1),

2).

При последовательной подстановке в систему (8) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (8) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.

Алгоритм нахождения собственных векторов матрицы А

1. Составить матрицу А- λЕ и характеристическое уравнение

det (A – λE)=0.

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Подставить значение корня в однородную систему (8) и найти соответствующий собственный вектор - ненулевое решение однородной системы.

Пример. Найти собственные векторы матрицы А =.

Решение. Составим матрицу А- λЕ = и перейдем в соотношении (А - λ·Е)· Х = 0 к покоординатному равенству

(10)

где координаты собственного вектора Х. Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений: det (A – λE) = 0 или.

Имеем det (A – λE) = (4-λ)

=-.

Характеристическое уравнение - имеет действительные корни

Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению, для чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (10)

При определитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса

4С₂ – 5С₁→С₂^/ С₃-С₂→С₃^/

2С₃ - 3С₁ →С₃^/

Получим равносильную систему трапецеидального вида:

или

Положим х₃ = 3t, тогда х₂= 2 t, х₁= t, получим собственный вектор

, где t.

Рассуждая аналогично, получим при

Найдем ненулевые решения этой системы

С₃:3→С₁^/ 2С₂-5С₁→С₂^/ С₃-С₂→С₃^/

С₁→С₃^/ 2С₃-3С₁→С₃^/

Имеем однородную систему откуда следует

2х₁ = 3х₂-х₃=3х₃-х₃=2х₃ или Положим получим собственный вектор, где s.

Ответ:, где t;

,, где s.

Замечания.

1) det (A – λE) не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен det (– λE), полученный в новом базисе ), если известна матрица Т перехода от старого базиса е = (е₁ , е₂ , …, е_n) к новому. С учетом А^/ = Т^-1 ∙ А ∙ Т (см. формулу (6)), получим det (– λE) = det (– λE) = det (– λ E∙Т) = det (– λ E)∙Т).

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, получим: det (– λE)= det (– λ E) ∙ detТ= det (A – λE).

2) Если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, имеет диагональный вид, где по главной диагонали стоят собственные числа. Пусть е₁ , е₂ , …, е_n – собственные векторы линейного оператора, соответствующие его собственным значениям. Собственные векторы примем за базисные.

Тогда и согласно (3):

откуда при i, и

Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид

А^/=.

3) Собственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

4) Характеристический многочлен симметричной матрицы имеет только действительные корни.

Дата добавления: 2014-01-03