КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию . Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат. называют квадратичной формой. Матрицу , где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы , - собственным значением. Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид: . Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.
Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности: 3x2 +5y2 +3z2 – 2xy + 2xz – 2yz -12x – 10 = 0. Решение. Составим матрицу : . Найдем собственные векторы:
Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е. Раскрывая определитель, получим: . Отсюда находим: . При получим систему уравнений: Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный вектор собственного вектора будет: . При получим При получим . Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования :
Отсюда получим формулы преобразования координат: Подставим значения , и в уравнение поверхности: или Перепишем уравнение в виде: Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим: Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом. Классификация поверхностей второго порядка. Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду: . В зависимости от величины и знаков коэффициентов , , , , , и могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка. Таблица 1. 1. Эллипсоиды: трехосный эллипсоид, мнимый эллипсоид точка 2. Гиперболоиды: 1) однополостные гиперболоиды 2) двуполостные гиперболоиды
3. Конусы:
4. Параболоиды: 1) эллиптические параболоиды 2) гиперболические параболоиды 5. Цилиндры 1) эллиптические цилиндры
2) гиперболические цилиндры 3) - параболические цилиндры 6. Пары плоскостей: 1) - пары пересекающихся плоскостей 2) - пары параллельных плоскостей 3) - пары совпадающих плоскостей
Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 181; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |