Преобразование декартовых координат

Известно, что положение точки некоторого пространства можно однозначно определить, задав координаты , и этой точки относительно некоторой системы координат . Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координат точка будет иметь координаты , а в другой системе точка будет иметь другие координаты . Естественно возникает задача: зная координаты точки в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы и - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системы ; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты , и любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат , , той же точки относительно другой системы.

Дата добавления: 2017-01-14