Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку

Розрахунок складних кіл. Закони Кірхгофа.

До вузлів схеми застосовується перший закон Кірхгофа: сума струмів, що притікають до будь–якої точки розгалуження (вузлу), дорівнює сумі струмів, що відходять від неї. Якщо струми, що притікають до точки, вважати додатними, а такі, що відходять від неї, – від’ємними, то перший закон Кірхгофа можна сформулювати так: алгебраїчна сума струмів у вузловій точці дорівнює нулю – S І = 0.

Згідно другого закону Кірхгофа, в усякому замкнутому контурі алгебраїчна сума ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі падінь напруг на всіх опорах, що включені в цей контур: S Е = S ІR.

Розглянемо схему

Вузли схеми: A, B, C, D, F.

Вітки: AB, BC, CD, BD, CF, AD, DF, ANMF.

Контури: ABDA, BCDB, CDFC, ADFMNA.

Перший закон Кірхгофа, наприклад, для вузла А визначається рівнянням: І ₇ + І ₈ – І ₁ = 0.

Другий закон Кірхгофа, наприклад, для контуру ADFMNA визначається рівнянням:

І ₈ R ₁₂ – І ₇ R ₄ – І ₆ R ₅ + І ₈ R ₁₃ + І ₈ R ₁₁ + І ₈ R ₃ = – E ₅ + E ₄ + E ₃.

При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа і обході замкнутого контуру ЕРС і струми, напрямки яких співпадають з прийнятим напрямком обходу – за годинниковою стрілкою (або проти), треба вважати додатними, а ЕРС і струми, напрямки яких протилежні напрямку обходу – від’ємними.

При розрахунку електричних кіл, які не вдається звести до одного результуючого опору шляхом заміни послідовно і паралельно з’єднаних опорів їх еквівалентними величинами доводиться вдаватись до більш складних перетворень. Зокрема, якщо в колі зустрічається замкнутий контур з трьох опорів R _AB, R _BC, R _CA, що утворюють сторони трикутника, то ці опори заміняють трьома опорами R _A, R _B, R _C, що з’єднані в одній вузловій точці О і утворюють трипроменеву зірку (D ® U).

При такому перетворенні опір між точками А і В, В і С та С і А повинні бути однаковими в обох видах з’єднання:

Аналогічно

При зворотному переході від зірки опорів до еквівалентного трикутника опорів (U®D) опори R _AB, R _BC, R _CA визначаються через опори R _A, R _B, R _C:

Відзначимо, що ці перетворення можуть бути застосовані тільки в тих випадках, коли в трикутнику опорів або зірці відсутні джерела енергії.

Використання наведених формул перетворення в розрахунках електричних кіл розглянемо на прикладі схеми, відомої під назвою міст Уітстона.

Задача: визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R ₀ = 1 Ом; R ₁ = 10 Ом; R ₂ = 15 Ом; R ₃ = 25 Ом; R ₄ = 12,5 Ом; R ₅ = 25 Ом.

Розрахунок:

Замінимо трикутник опорів R ₁, R ₂, R ₃ еквівалентною зіркою з променями:

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R _B + R ₅) – I_{R 5} і (R _C + R ₄) – I_{R 4}:

.

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках зворотно пропорційні опорам віток) або .

З математики відома властивість пропорцій: якщо справедлива пропорція , то справедливий вираз , а в цьому випадку – . Так як I _R4 + I _R5 = І, то .

Отже , а I _R4 = І – I _R5 = 2 – 0,8 = 1,2 А.

З рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB: I _BC R ₃ + I _R5 R ₅ – I _R4 R ₄ = 0, маємо:

.

I₅

I₂

I₃

I₄

I₁

r₅

r₄

r₃

r₁

r₆

E₂

E₁

b

a

Рисунок 1

Приклади розв’язування задач

Задача 1 Скласти рівняння за законами Кірхгофа для схеми (рис. 1), якщо Е₁=40 В, Е₂=20 В, r₁=20 0м, r₂=20 0м, r₃=40 0м, r₄=20 0м, r₅=5 0м, r₆=5 0м.

Розв’язування. Вибираємо довільно напрямки струмів у вітках, як показано на рис.7. В схемі три вузли (n=3), тому за першим законом Кірхгофа складаємо (n-1) =2 рівняння.

Для вузла a: І ₁ – І ₃ +І ₄ +І₅ = 0;

Для вузла b: - І ₁ – І ₂ +І ₃ = 0.

За другим законом Кірхгофа необхідно скласти m – (n-1) рівнянь, тобто для даної схеми 5 – (3-1) =3 рівняння. При вибраних напрямках обходу контурів

r ₁ · І ₁ +r ₃ ·І₃ = E₁;

– r ₂ · І ₂ –r ₃ ·І₃ –r₄·І₄ = –E₂;

– r ₄ · І ₄ +(r ₅ +r₆)·І₅ = 0.

Підставляючи числові значення, одержуємо систему рівнянь:

І ₁ – І ₃ +І ₄ +І₅ = 0;

– І ₁ – І ₂ +І ₃ = 0;

20 І ₁ + 40 І ₃ = 40;

–20 І ₃ – 40 І ₃ – 20 І ₄ = – 20.

Задача 2 Визначити середню швидкість направленого руху електронів у мідному провіднику, якщо площа поперечного перерізу його 20 мм², концентрація електронів провідності , а сила струму дорівнює 5 А (струм постійний). За який час електрон переміститься вздовж провідника на 1 см?

Розв’язання

Електрони провідності у металах перебувають у хаотичному русі. Після прикладання електричної напруги до ділянки провідника під дією електричного поля електрони починають переміщуватися упорядковано.

Через поперечний переріз провідника переноситься заряд: — за означенням струму; — як заряд електронів, які знаходяться у об’ємі . Прирівнюючи вирази,

знаходимо .

Час, за який електрон проходить шлях

Обчислення:

Відповідь:

Задача 3 Вольфрамова нитка лампи розжарення у робочому режимі має температуру 1800°С. Яке значення має сила струму в момент ввімкнення лампи потужністю 40 Вт, розрахованої на напругу 220 В, якщо в момент ввімкнення температура її у цей час дорівнює температурі навколишнього середовища—20°С?

Розв’язування.

З підвищенням температури металевого провідника його опір збільшується. Номінальні параметри (напругу, струм, потужність) для електротехнічних пристроїв указують для робочого режиму. Якщо нитка розжарення холодна, то її опір набагато менший від опору в розжареному стані, і струм може до­сягати великого значення.

Щоб визначити силу струму в момент ввімкнення, треба знайти опір нитки розжарення лампи при кімнатній температурі.

Потужність лампи: . Звідки знайдемо опір лампи у робочому режимі, тобто при температурі 1800°С:

Залежність опору металевого провідника від температури:

Звідси:

Сила струму в момент ввімкнення:

Обчислення:

I₂

I₃

I₁

I₄

I₅

r₁

r₂

r₅

r₄

r₆

E₁

r₃

E₃

E₂

Рисунок 2

J₁

J₂

J₃

J₁

Відповідь:

Задача 4 Визначити струми у вітках схеми (рис. 2) методом контурних струмів. Дано: E₁=40 В, E₂=40 В, E₃=140 В, r₁=20 Ом, r₂=20 Ом, r₃=10 Ом, r₄=20 Ом, r₅=40 Ом, r₆=20 Ом.

Розв’язування. У зв’язку з тим, що електричне коло містить три незалежні контури, то систему контурних рівнянь записуємо в вигляді:

;

;

.

Визначимо коефіцієнти отриманої системи рівнянь. Власні опори контурів:

Ом;

Ом;

Ом.

Спільні опори:

Ом;

Ом.

Враховуючи, що контури 1 і 3 не мають спільної вітки, r₁₃= r₃₁=0. Опір r₂₃ входить в рівняння зі знаком мінус, тому, що струми J₂ і J₃ в цьому опорі направлені в різні сторони.

Контурні ЕРС:

E₁₁= E₃ – E₂ =100 В; E₂₂= - E₁ – E₂ =-80 В; E₃₃ =0.

Підставляючи числові значення в систему рівнянь, маємо:

;

;

.

Роз’вязуючи її, отримуємо:

J₁ = 4 А; J₂ = -3 А; J₃ = -2 А.

Струми у вітках визначаються із співвідношень:

I₁ = - J₂ = 3 А; I₂ = J₁ + J₂ = 1 А; I₃ = J₁ = 4 А; I₄ = J₃ = -2 А; I₅ = J₃ – J₂ = 1 А.

Дата добавления: 2017-01-14