Этап 5. Запись условий неотрицательности

Этап. 4. Определение ограничений

Этап. 3. Построение целевой функции.

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х₁, х₂… в виде линейного уравнения.

Каждый изготовленный продукт А приносит 1103,5 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х₁ единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 1103,5 × х₁. Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х₂ единиц продукта В составит 1391 * х₂. Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 1103,5 × х₁ + 1391 × х₂

Предприятие стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Z = 1103,5 × х₁ + 1391 × х₂šmax

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

Для производства продуктов А и В необходимо время станочной обработки и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х₁ их₂) будут, таким образом, ограничены количеством обрабатываемых деталей в час. Рассмотрим ситуацию с токарной обработкой заготовок. За один час токарной обработки подвергается 37 заготовок для фрез А 62 заготовки для фрез В.

Таким образом, общий объем обрабатываемых заготовок, необходимого для производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, составляет

37/х₁ + 62/х₂. Математически это записывается следующим образом:

37 /х₁ + 62/ х₂ ≤1

Избавимся от знаменателей:

62х₁ + 37х₂ ≤2294

Аналогичные соображения применяются к шлифованию, закалки и заточки, что позволяет записать еще три ограничения:

53х₁ + 42х₂ ≤ 2226

25х₁ + 50х₂ ≤ 1250

14х₁ + 30х₂ ≤ 420

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи может быть записана в виде:

Z = 1103,5 х₁ + 1391 х₂šmax

При условии, что:

62х₁ + 37х₂ ≤2294

53х₁ + 42х₂ ≤ 2226

25х₁ + 50х₂ ≤ 1250

14х₁ + 30х₂ ≤ 420

х₂ ≥ 0

х₁ ≥ 0

3.2 Графический метод решения задачи линейного программирования.

Необходимо найти максимальное значение целевой функции

F = 1103.5x₁+1391x₂ → max, при системе ограничений:
62x₁+37x₂≤2294, (1)
53x₁+42x₂≤2226, (2)
25x₁+50x₂≤1250, (3)
14x₁+30x₂≤420, (4)
x₁ ≥ 0, (5)
x₂ ≥ 0, (6)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств (рис.2). Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 2.

Шаг №2. Границы области допустимых решений. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений (рис. 3).

Рисунок 2.

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 1103.5x₁+1391x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 1103.5x₁+1391x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1103.5; 1391). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рис. 3 и 4).

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (5) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x₂=0
14x₁+30x₂=420
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 30, x₂ = 0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1103.5*30 + 1391*0 = 33105

Таким образом предприятию ЗАО «Звезда» следует выпускать только торцевые фрезы в количестве 30 штук в час, что позволит ему получить максимальную прибыль в размере 33105 руб. в час. или 264 840 руб. в день при 8 часовой рабочей смене.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе работы над курсовым проектом была рассмотрена задача линейного программирования о производстве режущего инструмента на предприятии ЗАО «Звезда». Для решения задачи использовался графический метод. Получены следующие результаты:

Оптимальная прибыль от реализации продукции достигается при следующем производстве режущего инструмента: 30 шт торцевых фрез. От шпоночных фрез было решено отказаться. При этом прибыль от реализации составит 33105 руб. в час. или 264 840 руб. в день при 8 часовой рабочей смене.

Дата добавления: 2017-01-14