Разложение сигналов по системе базисных функций

Учебник

Сигналов

Преобразование измерительных

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением по образованию в области

приборостроения и оптотехники в качестве учебника для студентов

высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки

дипломированных специалистов 653700 «Приборостроение»

Москва

ACADEMIA

УДК 004:681.2(075)(086.8)

ББК 32.965

Р 22

Рецензенты:

зав. кафедрой «Компьютерные, информационные и управляющие системы автоматики» ГТУ – МИСиС, доктор технических наук, профессор З.Г.Салихов;

зав. кафедрой «Измерительные информационные системы и технологии» МГТУ «Станкин», доктор технических наук, профессор В.И. Телешевский.

Желонкин А.И., Тарасенко А.П.

Преобразование измерительных сигналов: Учебник для вузов: - М:

Издательский центр «Академия», 2009. – с

Материал учебника соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по дисциплине СД.Ф.01 «Преобразование измерительных сигналов».

В учебнике рассмотрены основы теории сигналов. Излагаются основные понятия и классификация измерительных сигналов, понятие моделирования применительно к измерительным сигналам. Рассмотрен частотно-временной анализ, модуляция, детектирование, фильтрация и восстановление сигналов, а также автоматизированные методы преобразования сигналов с использованием преобразований Фурье. Изложены основы проектирования, расчет и выбор фильтров в зависимости от измерительных задач.

Учебник написан для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Приборостроение» и специалистов в области информационно-измерительной техники и технологий, информационных систем и метрологии.

УДК 004:681.2(075)(086.8)

ББК 32.965

© Желонкин А.И., Тарасенко А.П., 2009

© Образовательно-издательский центр «Академия», 2009

ISBN 5-7695-1170-2 © Оформление. Издательский центр «Академия», 2009

Предисловие

Подготовка специалистов с высшим образованием предполагает как непосредственный контакт со студентами при чтении лекций, на практических занятиях, так и их самостоятельное обучение. Дистанционное обучение как развивающееся направление в системе профессионального обучения с использованием мультимедийных средств изменило форму общения со студентами и потребовало от преподавателей изменения самого процесса обучения. Разработка специализированных программ для дистанционного потребовало установления четкого разграничения и согласования границ читаемых согласно ГОСа дисциплин. Материал учебника построен в строгом соответствии с ГОС дисциплины «Преобразование измерительных сигналов» и явился основой для разработки электронного учебника. Следует отметить, что как в зарубежных, так и в российских изданиях опубликовано много книг, посвященных современному подходу к вопросам получения, передачи и обработки измерительных аналоговых и цифровых сигналов, поэтому авторы сочли целесообразным частично использовать фрагменты материалов других авторов, что делает книгу весьма полезным пособием для студентов практически для всех технических специальностей, а также для широкого круга специалистов.

Введение

Содержание предлагаемой книги соответствует программе дисцип­лины «Преобразование измерительных сигналов», изучаемой студентами энергетиче­ских и приборостроительных специальностей высших учебных заведений.

В гл. 1 кратко изложены основные понятия, классификация и математические модели измерительных сигналов. В гл. 2 рассмотрены методы анализа измерительных сигналов. В гл. 3 даны понятия модуляции, рассмотрены особенности процесса модуляции аналоговых и дискретных сигналов и процессии преобразования спектра сигнала при различных видах модуляции. Дано понятие демодуляции и детектирования. В гл. 4 рассмот­рены вопросы преобразования сигналов в линейных и нелинейных цепях, а также особенности статистических методов исследования нелинейного преобразования сигналов. Гл. 5 посвящена рассмотрению дискретизации и восстановлению измерительных сигналов. В гл. 6 приведены общие сведения о фильтрах, их характеристиках, рассмотрены методы расчета и проектирования фильтров в зависимости от различных измерительных задач.

Подбор и изложение материала базируется на многолетнем опыте чтения лекций преподавателями кафедры «Информационных систем и из­мерительных технологий» Московского ордена Трудового Красного зна­мени государственного открытого университета. Авторы выражают глубокую признательность сотрудникам кафедр информационно-измерительной техники Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (зав. кафедрой проф. В.К. Батоврин) и Рязанской государственной радиотехнической академии (зав. каф. проф. А.М. Беркутов) за конструктивную критику и замечания, сделанные при составлении отзыва и рецензии на книгу, а также председа­телю НМС по дисциплине «Информационно-измерительная техника и технологии» проф. В.Н. Малиновскому за ценные предложения и замеча­ния.

Авторы

Содержание

Предисловие ……………………………………………………………...3

Введение ………………………………………………………………..…4

1. Непрерывные и импульсные сигналы, их разложения по

различным базисам…………………………………………………..….7

1.1. Основные понятия и определения………………………….….…7

1.2. Модели сигналов и их характеристики……………………………10

1.3. Разложение сигналов по системе базисных функций………….…19

1.4. Ряд Фурье для периодических сигналов………………………..…23

1.5. Интеграл Фурье для непериодических сигналов………………....31

1.6. Контрольные вопросы………………………………………………38

2. Виды модуляции и их применение в измерительной технике……..40

2.1. Виды модуляции…………………………………………………….40

2.2. Непрерывные методы модуляции……………………………….…43

2.3. Импульсные модулированные сигналы……………………………55

2.4. Цифровые методы модуляции…………………………………….. 58

2.5. Контрольные вопросы…………………………………………....…59

3. Преобразование сигналов линейными и нелинейными цепями…..60

3.1. Спектральный метод анализа линейных цепей……………………63

3.2. Анализ линейной цепи методом интеграла наложения (Дюамеля)…….66

3.3. Преобразование измерительных сигналов в нелинейных цепях…70

3.4. Контрольные вопросы…………………………………………....….76

4. Структуры фильтров, выбор фильтров в зависимости от измерительной задачи и методы их расчета…………………….. 78

4.1. Структуры фильтров ………………………………………………. 79

4.2. Фильтры нижних частот…………………………………………….83

4.3. Фильтры верхних частот………………………………………….. 88

4.4. Полосовые и заградительные фильтры…………………………… 92

4.5. Контрольные вопросы……………………………………………… 97

5. Квантование и воспроизведение измерительных сигналов……….. 98

5.1. Квантование по уровню…………………………………………… 99

5.2. Квантование по времени……………………………………………103

5.3. Квантование по уровню и времени……………………………….. 107

5.4. Воспроизведение сигналов………………………………………….109

5.5. Контрольные вопросы………………………………………………117 6. Математическое описание цифровых последовательностей и их преобразований ………………………………………………………… 118

7. Проектирование и реализация цифровых фильтров………………

8. Дискретное преобразование Фурье и другие методы анализа сигналов, частотно-временной анализ……………………………………

1. Непрерывные и импульсные сигналы, их разложения по различным базисам

1.2. Основные понятия и определения

В средствах ИИТ передача, хранение и представление информации о значениях измеряемых величин осуществляется с помощью сигналов, которые называют измерительными сигналами или сигналами измерительной информации. Сигнал (от латинского signum – знак) – физический процесс (или явление), несущий информацию о состоянии какого-нибудь объекта наблюдения. Измерительный сигнал – это материальный носитель информации, представляющий собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой величиной. Для передачи сигналов используют переносчики информации – это физические процессы, которые обладают свойством перемещения в пространстве: электромагнитные, звуковые, световые, механические и др. колебания. Сам по себе переносчик информации не является сигналом до момента нанесения на него информации. Процесс нанесения информации на носитель осуществляется изменением определенных его параметров и называется модуляцией. Обратная операция получения информации из модулированного сигнала называется демодуляцией. В ИИТ для образования сигналов используют носители постоянного, гармонического или импульсного вида. Так, например, для носителя в виде постоянного тока имеем один изменяемый параметр – его амплитуду; для носителя в виде переменного тока такими параметрами могут быть амплитуда, частота или сдвиг фазы относительно некоторого опорного сигнала; для носителя импульсного вида со значением измеряемой величины могут быть связаны амплитуда импульса, длительность, частота следования импульсов, сдвиг по фазе относительно некоторой опорной последовательности импульсов и даже количество импульсов и их взаимное расположение. Переносчик информации характеризуется многими параметрами, но для отображения информации выбирается обычно один его параметр, который называется информативным, а остальные параметры сигнала, не участвующие в передаче информации называют неинформативными. И хотя они не несут в себе никакой информации, все же косвенно они могут оказывать влияние на точность передачи информации. Сигналы измерительной информации, в процессе передачи их по измерительному каналу, преобразовываются из одного вида в другой, что необходимо для их передачи, хранения, обработки и восприятия оператором. Оптимальная передача сигнала, возможна лишь при согласованной работе всех звеньев измерительного канала, что возможно при определенной их совместимости: по роду, размеру информативных параметров, закону их изменения и т.д. Эта совместимость устанавливается Государственной системой приборов (ГСП). Другим условием получения неискаженной информации на выходе измерительного канала является повышение помехоустойчивости как самих сигналов, так и самой системы передачи измерительных сигналов, т.к. передача сигнала измерительной информации практически всегда сопровождается помехой. Помеха - это сигнал, не содержащий измерительной информации, накладывающийся на передаваемый сигнал и искажающий его. Помехи бывают внутренние (шумовой сигнал) и внешние. Помехи является одной из причин возникновения погрешности измерений. Источник сообщений, измерительный канал и регистрирующее устройство образуют одноканальную систему передачи измерительной информации. Разберем на примере работы прибора для измерения давления (рис.1.1) этапы преобразования сигнала в измерительном канале.

Сообщение об изменении давления, содержащее конкретное значение физической величины Р, изменяет (модулирует) состояние диафрагмы первичного преобразователя Д. В данном примере диафрагма датчика является переносчиком сообщения. Сигнал d – величина перемещения чувствительного элемента (диафрагмы) – преобразовывается тензопреобразователями, наклеенными на диафрагму, в сигнал изменения активного сопротивления R. Далее этот сигнал преобразовывается в потенциальный сигнал U, пропорциональный изменению R, и поступает на вход модулятора UB, на другой вход которого поступает сигнал от генератора прямоугольных импульсов. На выходе UB имеем амплитудно-модулированный сигнал в виде последовательности двухполярных прямоугольных импульсов, амплитуда которых пропорциональна изменению U. Усилитель переменного тока усиливает переменную составляющую этого сигнала U~, а выпрямитель UZ преобразовывает этот сигнал в серию однополярных импульсов, которые регистрируются вольтметром V в виде отклонения подвижной части прибора на угол α = f(P). Здесь сигналы d, R, U, U~, α – сигналы измерительной информации. Сигнал на выходе рассмотренной схемы, регистрируемый измерительным прибором, отражает значение давления с некоторой погрешностью, являющейся следствием погрешности преобразования каждого звена схемы и действием помех.

Рис. 1.1. Этапы преобразования сигнала в приборе для измерения давления

Используя известный в ИИТ алгоритм получения измерительной информации можно так представить обобщенную структуру измерительного информационного процесса (рис. 1.2). Входной сигнал в виде изменяющегося параметра физической величины, характеризующего состояние объекта измерения, регистрируется первичным преобразователем {Д}. Сигнал измерительной информации с {Д} сравнивается в устройстве сравнения {УС} с образцовым сигналом, поступающим от меры {М} и регистрируется получателем {П}. На рис.1.2 знаком { } обозначается набор элементов. Элементы Д, УC, M и П являются основными компонентами любой измерительной системы.

Рис.1.2. Структурная схема процесса получения

измерительной информации

В рабочих условиях реальная функция преобразования каждого из этих элементов отличается от номинальной, что приводит к появлению дополнительной погрешности, которую можно рассматривать как действие на измерительный сигнал помех (шума) ― ξ(t). В результате на выходе имеем сигнал х*(t), искаженный помехой (смесь сигнала и помехи). Таким образом, измерительная система представляется как канал передачи информации от объекта к потребителю при наличии помех. При измерениях всегда присутствует погрешность, которая понимается как разность

. (1.1)

Сигнал погрешности несет дезинформацию и, как правило, является случайной величиной, в общем случае зависящей от времени t и закона распределения помех. Очевидно, чем меньше и больше вероятность, тем выше достоверность результата измерений.

1.2. Модели сигналов и их характеристики

Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей сигналов. В зависимости от времени существования различают модели непрерывных и импульсных сигналов. Непрерывные сигналы существуют на всей временной оси

- < t < . Импульсные сигналы существуют на конечном интервале времени t₁ ≤ t ≤ t₂. В действительности непрерывные во времени сигналы не встречаются. На практике считают сигнал непрерывный, если время его существования существенно превышает время наблюдения; сигнал импульсный, если время наблюдения превышает длительность сигнала.

Сигналы, в зависимости от физических явлений, лежащих в их основе, делятся на механические, тепловые, акустические, электрические, магнитные, световые и др. (рис.1.3). В зависимости от изменения во времени сигналы делят на статические и динамические сигналы. Постоянные во времени сигналы (статические) содержат только один постоянный информативный параметр, поэтому при измерении постоянной во времени величины достаточно определить одно мгновенное значение. Переменные во времени сигналы (динамические) в зависимости от характера их изменения подразделяются неслучайные (детерминированные и квазидетерминированные) и случайные.

Сигналы, закон изменения которых известны, и, следовательно, значения параметров которых могут быть точно предсказаны в любой заданный момент времени, называются детерминированными. Для них характерна высокая воспроизводимость значений параметров при неизменных условиях эксперимента. К детерминированным относят сигналы на выходе мер, калибровочные сигналы, сигналы на выходе различных генераторов и др.

Квазидетерминированными называют сигналы с известным характером закона изменения во времени, но неизвестным по значению одним или несколькими параметрами. Примером такого сигнала является синусоидальный сигнал с известной частотой, но неизвестной амплитудой. Причем неизвестный параметр может изменяться в широком диапазоне значений и даже изменяться по случайному закону. Квазидетерминированные сигналы в свою очередь подразделяют на элементарные и сложные.

К периодическим сложным сигналам относятся полигармонический сигнал, последовательности прямоугольных, косинусоидальных, колокольных, треугольных, экспоненциальных, трапециидальных и других форм импульсов. Для всех периодических сигналов выполняется общее условие х(t) = х(t + kT), где k = 1, 2, 3,... - любое целое число, Т - период, являющийся конечным отрезком времени. Следует обратить внимание на то, что периодический сигнал любой формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте колебаний ω_ц= 2π/T_ц, где Т_ц – период цикла, а ω_ц – угловая частота часта колебаний.

Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний (ряд Фурье):

х(t) = A_ncos(ω_nt+ φ _n), (1.2)

Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (f_о = 0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с частотами, кратными основной частоте f_ц, и с произвольными значениями амплитуд A_n и фаз φ _n.

Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов, но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик. Почти периодические сигналы порождаются физическими процессами, не связанными между собой. Математическое отображение сигналов тождественно полигармоническим сигналам (сумма гармоник).

Непериодические (апериодические) сигналы задаются произвольными функциями времени. Для их представления в частотной области используется интегральное преобразование Фурье, которым отображается спектральная плотность сигнала. К апериодическим сигналам относятся также импульсные сигналы, как правило, определенной и достаточно простой формы, существующие в пределах конечных временных интервалов (единичный импульс).

Случайным называют сигнал, значение которого в каждый момент времени является случайной величиной. В случайном сигнале каждый информативный параметр рассматривается как случайная величина, а значит, они не обладают свойством воспроизводимости в заданных условиях. Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или физический процесс. При регистрации случайного сигнала реализуется только один из возможных вариантов (исходов) случайного процесса, а достаточно полное и точное описание процесса в целом можно произвести только после многократного повторения наблюдений и вычисления определенных статистических характеристик ансамбля реализаций сигнала. В качестве основных статистических характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятности нахождения значения сигнала в определенном интервале возможных значений (плотность вероятности);

б) спектральное распределение мощности сигнала.

Случайные сигналы делят на стационарные и нестационарные.

Стационарные случайные сигналы сохраняют свои статистические характеристики (математическое ожидание и дисперсия) в последовательных реализациях случайного процесса, т.е. не зависят от времени. Они бывают эргодическими и неэргодическими. Для стационарного эргодического процесса вероятностные характеристики не зависят ни от времени, ни от номера реализации.

Для стационарного неэргодического процесса вероятностные характеристики не зависят от текущего времени, т.е. характеристики по множеству реализаций совпадают, но неэквивалентны сами реализации, т.е. характеристики зависят от номера реализации.

Для случайных нестационарных сигналов общепринятой классификации не существует. Как правило, из них выделяют различные группы сигналов по особенностям их нестационарности.

Особое место в приведенной классификации занимают элементарные сигналы. По реакции измерительной системы на элементарный сигнал, можно, пользуясь методом суперпозиции, судить о реакции системы на сигнал произвольной формы. К основным элементарным сигналам относятся постоянный сигнал, идеальный единичный импульс, единичный скачок и синусоидальный сигнал.

Постоянный сигнал неизменен во времени (рис. 1.4, а), его уравнение х(t) = const. Постоян­ный сигнал имеет только один информативный параметр х.

Идеальный единичный импульс или дельта функция d(t) описывает идеализированный сигнал, с бесконечно малой длительностью, бесконечно большой амплитудой и площадью, равной единице. Он характеризуется только одним параметром – моментом возникновения импульса (рис. 1.4, б). Дельта функция d(t) (функция Дирака) равна нулю всюду, за исключением единственной точки t=t_и в которой она обращается в бесконечность. Математическая модель дельта функции может быть представлена в виде:

(1.3)

где – дельта функция; t – текущее время, t_и – момент действия импульса.

Функция Дирака d(t) связана дифференциальной зависимостью с функцией Хевисайда σ(t):

(1.4)

Отсюда получаем, что интеграл от дельта-функции по всей числовой оси равен 1, что и послужило происхождению названия – единичный импульс.

. (1.5)

Важной особенностью дельта-функции является её фильтрующее действие, заключающееся в том, что интеграл от произведения дельта-функции на сигнал X(t) равен значению исходного сигнала X(t)

(1.6)

Динамическое представление сигналов с помощью функции Дирака d(t) представляет собой последовательность примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, с амплитудой, равной мгновенным значениям сигнала.

Функция включения - функция Хевисайда σ(t) описывает переход физического объекта за бесконечно малый интервал времени (практически мгновенно) из исходного (нулевого) состояния в новое (единичное) в заданный момент времени t=t_и. Она широко используется для описания разрывных процессов, в том числе импульсных сигналов. Математическая модель функции Хевисайда:

X(t)= X(0) σ(t)+ (1.7)

Динамическое представление с помощью функции Хевисайда состоит из непрерывных элементарных ступенчатых приращений сигнала.

Пропуская сигнал в виде идеального единичного импульса через интегратор, получаем на выходе единичную функцию (рис. 1.4, в). Если сигнал в виде единичной функции поступает на вход дифференциатора, то на выходе его получаем сигнал в виде дельта-функции (рис. 1.4, г).

Рис. 1.4. Модели элементарных сигналов а) постоянный сигнал, б) идеальный единичный импульс, в) прохождение единичного импульса через интегратор, г) прохождение единичного скачка через дифференциатор.

При анализе информационно-измерительных систем, в частности при исследовании их пропускной способности и селективности, широко используются элементарные синусоидальные сигналы.

Синусоидальный сигнал – это периодический процесс, поведение которого во времени описывается выражением:

, (1.8)

где мгновенное значение в момент , – амплитуда, – круговая частота в 1/с, – циклическая частота в герцах, и – начальный фазовый угол в радианах. Любой из этих параметров может быть информативным или неинформативным. Синусоидальный сигнал, определенный формулой (1.8) обычно называется гармоническим. При практическом анализе гармонических сигналов фазовый угол часто игнорируется и в этом случае сигнал (1.8) записывают в упрощенном виде: (1.9)

Уравнение (1.9) графически можно изобразить либо в виде зависимости мгновенного значения от времени (рис. 15,а), либо в виде зависимости амплитуды от частоты (частотного спектра) (рис.1.5,б). Частотный спектр синусоиды состоит из единственной спектральной линии, равной по амплитуде и расположенной на частоте . Многие физические процессы с достаточной для практики точ­ностью описываются синусоидальной функцией: напряжение на выходе генератора переменного тока, отклонения несбалансирован­ного ротора и др. Синусоидальная функция является самой простой и удобной для анализа функцией времени.

а) б)

Рис. 1.5. Синусоидальный сигнал: а) графическая модель сигнала, б) спектр сигнала

Сигналы произвольной формы (в том числе и периодические) характеризуются рядом параметров. Основными являются:

-длительность (интервал существования) Т;

-максимальное значение X_макс;

-среднее значение Х_ср = ;

-средне выпрямленное значение Х_{ср.выпр.} = ;

-среднее квадратическое Х_{ср.квадр} = ;

-действующее или среднее квадратическое отклонение

X_с.к.о.= σ = ;

-коэффициент амплитуды К_а = X_макс/ σ;

коэффициент формы К_ф = σ / Х_{ср.выпр}.

Импульсные периодические сигналы дополнительно определяют тремя параметрами:

-амплитудой импульса - X_m;

-периодом повторения – T₀ (с ним связаны: ω ₀ = 2πf ₀ – круговая частота,

f₀ = 1/T₀ – циклическая частота);

-длительностью – τ.

Задача анализа реальных сигналов, которые обычно являются сложными по форме и аналитически часто не поддающимися описанию, заключается в том, чтобы эти сигналы, в соответствии с методами линейной теории, представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, обладающих свойством орто­гональности в виде, удобном для последующего анализа их прохождения через различные измерительные цепи. Это дает нам возможность детально исследовать как сами сигналы (их форму, внутреннее строение, различные физические и информационные характеристики), так и реальные измерительные каналы. Существует много способов такого представления сложных сигналов и каждый из них предполагает наличие вполне определенной системы функций, обладающих свойством ортогональности, называемых базисной системой.

Итак, любой реальный сигнал может быть представлен в виде суммы более простых функций, виде:

, (1.10)

где { а_k } – набор весовых коэффициентов, k = 0, 1, 2,..., { С_к(t)} – система базисных функций. Такое представление сигнала (1.10) называют разложением сигнала по системе базисных функций. Если учесть, что систему базисных функций { С_к(t) }, применяемых для разложения, мы выбираем заранее, то сигнал может быть полностью охарактеризован набором весовых коэффициентов { а_k } для этих функций. При приближенном представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной практике, набор весовых коэффициентов { а_k } конечен, их называют спектральными характеристиками или просто спектром. Таким образом, задача анализа сигналов зависит от правильного выбора системы базисных функций, удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи. К системе базисных функций предъявляют определенные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции С_к (t) должны иметь простую аналитическую форму, коэффициенты { а_k } должны вычисляться относительно просто. Этим требованиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Ортогональной называется совокупность функций С_к(t), удов­летворяющая следующему условию на отрезке времени (t₂ — t₁):

(1.11)

где k = 1, 2, 3 …, m; n= 1, 2, 3…, m при п≠k.

Ортогональность двух функций означает, что данная функция не содержит в своем составе компонент, имеющих форму второй ортогональной ей функции, т.е. каждая из них несет только свою долю информации, содержащуюся в сигнале.

Если совокупность функций С_к (t) удовлетворяет также и условию

то она называется ортонормированной, т.е. базисные функции, нормированные по энергии или по мощности к единице.

К классическим способам ортогонального представления сигналов относят их описание с помощью функций времени, представляющих временной спектр как результат разложения сложного сигнала по системам единичных импульсов или дельта функций; описание с помощью гармонических функций, представляющих гармонический спектр как результат разложения сигнала по системам синусоидальных и косинусоидальных функций. Способ разложения по системам гармонических функций широко используется из-за ряда преимуществ перед другими системами ортогональных функций. В частности, они являются довольно простыми; обладают свойством симметрии относительно времени и частоты (повышение частоты колебаний в несколько раз эквивалентно сжатию функции по времени во столько же раз); обладают свойством инвариантности к пространственным операциям типа сдвигов и поворотов самих источников сигналов; могут быть выражены с помощью формулы Эйлера через комплексные экспоненциальные функции, которые, в свою очередь, обладают важным свойством мультипликативности, т.е. при перемножении этих функций их аргументы суммируются. Теория гармонического спектрального анализа получила законченную форму в работах Фурье. Следует учитывать, что помимо временного и гармонического представлений, один и тот же сигнал может быть разложен и по другим ортогональным базисным системам. В частности могут быть использованы различного типа многочлены (полиномы Лежандра, Якоби), системы «прямоугольных» функций Хаара, Уолша, Адамара и др.

Один и тот же сигнал, в зависимости от выбранной системы базисных функций может иметь как непрерывный, так и дискретный спектр.

Для детерминированных сигналов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа, использующие преобразования Фурье. В роли базиса С_к (t) могут использоваться как гармонические функции, так и экспоненциальные, а роль коэффициентов а_k играют амплитуды гармоник. Для случайных сигналов наибольшее распространение получили методы корреляционного и спектрального анализа, основанные на преобразовании Хинчина — Винера. Эти преобразования являются результатом распространения метода Фурье на случайные процессы. При разложении случайных процессов коэффициенты а_k являются случайными величинами, а оптимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.

В настоящее время нет единой обобщенной спектральной теории, описывающей общие для всех систем базисных функций закономерности спектрального анализа. Эффективность решения задач на практике во многом зависит от корректного выбора базисной системы функций, поэтому для каждой конкретной задачи выполняется поиск оптимальной спектральной системы путем измерения спектров сигналов с последующей оценкой их по определенным критериям. Так широкий класс задач обработки и распознавания сигналов различного происхождения могут быть решены только путем предварительного измерения их спектральных характеристик.

В практике спектрального анализа наибольшей популярностью пользуются гармонические базисные функции из-за довольно простых способов их генерирования, например с помощью простых аналоговых схем. В связи с развитием цифровых и программных средств обработки сигналов открылись большие возможности спектрального анализа сигналов практически в любой базисной системе. Поэтому именно цифровые (дискретные) методы спектрального анализа вызывают наибольший интерес у специалистов.

Дискретный сигнал – это множество значений непрерывного сигнала, полученное в процессе его дискретизации по временной оси. Математически дискретный (цифровой) сигнал представляется непрерывной последовательностью чисел, т.е. дискретных функций X(t). В случае равномерного шага дискретизации непрерывного сигнала (рис. 1.6), определяемые на временной оси дискретные функции носят название решетчатых. Каждой решетчатой функции может соответствовать сколько угодно непрерывных, совпадающих с ней при t = n Δt. Эти непрерывные функции называют огибающими данной решетчатой функции. Простейшей огибающей функцией является ступенчатая функция.

Дискретный сигнал в процессе его спектрального анализа может быть разложен (представлен) только по системам дискретных базовых функций, у которых отсчеты по времени совпадают с отсчетами сигнала.

Рис. 1.6. Огибающие решетчатой функции

Дата добавления: 2017-01-14