Середні величини та показники варіації

Аналітичне групування

Інтервальний варіаційний ряд розподілу

№ групи	Групи за рівнем урожайності зернових	Частоти	Накопичувальні частоти
	15 – 19
	19 – 23

Продовження табл.1

	23– 27
	27 – 31
	Разом		х

Для побудови аналітичного групування використовуємо попередню таблицю і дані індивідуального завдання 1. З індивідуального завдання у стовпчик переносимо всі значення результативної ознаки по кожній групі і значення факторної, які безпосередньо відповідають результативній.

2. Допоміжна інформація для аналітичного групування

№	Урожайність зернових культур ц.га (результативна ознака У)	Якість ґрунту, бали Х1	Внесення органічних добрив т. га., Х2
А	В	С	D
Група 1. 15- 19
			2,3
			1,7
			0,8
			2,0
			2,2
			0,7
Разом група 1: 97		9,7
Група 2. 19 – 23
			2,0
			2,1
Разом група 2: 43		4,1
Група 3. 23 – 27
			2,0
			2,4
Разом група 3: 51		4,4
Група 4. 27 – 31
			2,5
			2,7
			2,4
			2,1
			2,6
			2,5
			2,7

Продовження табл.2

			2,6
			2,8
			2,5
Разом група 4: 289		25,4
Разом за сукупністю: 480		43,6

Після закінчення оформлення допоміжної таблиці ми маємо інформацію для проведення аналітичного групування. Для цього ми повинні мати усереднені дані за результативною і факторною ознакою та прослідкувати за їх змінами. Наприклад, для першої групи усереднені дані складуть 16,2 ц.га за рівнем урожайності зернових (разом по першій групі: 97 ділити на кількість одиниць у групі 6) та 67,8 балів за якістю грунту (407 поділити на 6). Результати роботи подано у табл. 3.

№	Групи за рівнем урожайності зернових культур, ц.га	Усереднені значення
урожайності зернових культур, ц.га	Якості ґрунту, балів	Внесення органічних добрив т. га.,
	15 – 19	16,2	67,8	1,62
	19 – 23	21,5	70,5	2,05
	23– 27	25,5	75,5	2,20
	27 – 31	28,9	79,4	2,54
	Середнє		74,7	2,18

Провівши аналітичне групування, ми можемо стверджувати, що між рівнем урожайності зернових культур внесенням добрив та якістю ґрунту існує пряма лінійна залежність. Це підтверджується нашими розрахунками, а саме: зі збільшенням якості ґрунту та внесення добрив в кожній групі – відповідно збільшується рівень урожайності.

Середньою величиною у статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ з будь-якої варіаційної ознаки, що показує рівень ознаки, розрахований на одиницю сукуп­ності. Разом із методом групувань середні величини у статистиці є одним з основних методів опрацювання й аналізу масових даних.

Середня величина як категорія стати­стики — це, з одного боку, реальний показник, що відображає об'єк­тивно існуючі властивості суспільних явищ, на основі яких можуть бути обчислені середні показ­ники; а з другого — у ній взаємознищуються індивідуальні розхо­дження багатьох величин одного і того самого виду.

У статистиці застосовуються кілька видів середніх величин. Усі вони належать до класу степеневих середніх, загальна формула якої має такий вигляд: ,

де - середня величина; X — варіанта; т — показник степеня середнь­ої; n - число одиниць сукупності.

Якщо т = 1, то середня арифметична - ;

Якщо т = 2, то середня квадратична - ;

Якщо т = -1, то середня гармонійна - ;

Якщо m=0, то середня геометрична - ,

де К₁, К₂, ….К_n – ланцюгові коефіцієнти динаміки.

Крім степеневих середніх величин, у статистиці застосо­вуються описові характеристики ряду розподілу ознаки — мода (Мо) і медіана (Ме).

У статистиці широко застосовується середня арифметич­на величина. Середня геометрична величина використовується для визначення середніх темпів динаміки значимих явищ.

Середня квадратична величина застосовується при вивченні зв'язків між досліджуваними явищами та їх причинами методом ко­реляційного аналізу та ін.

Вивчення варіації ознаки дає можливість визначити, які чинники і якою мірою впливають на розмір досліджуваних ознак.

Вивчення варіації ознаки необхідно для наукової організації ви­біркового спостереження, дисперсійного і кореляційного аналізу.

Для вивчення варіації ознаки використовують такі показники як:

• розмах варіації (R),

• середнє лінійне відхилення (d ),

• дисперсія і середнє квадратичне відхилення (δ², δ ),

• коефіцієнт варіації (V).

Розмах варіації — це різниця між найбільшим і найменшим зна­ченням ознаки: R = X_max –X_min.

Середнє лінійне відхилення – середня арифметична з абсолютних значень (модулів) відхилень окремих значень варіацій­ної ознаки від його середнього значення.

Середнє лінійне відхилення обчислюється за такими формулами: для незгрупованих даних:

;

для згрупованих даних, коли частоти різні:

.

Дисперсія — це середня величина із квадратів відхилень варіант від середньої величини (δ²), а корінь квадратний із дисперсії нази­вається середнім квадратичним відхиленням.

Дисперсія обчислюється за формулами:

для незгрупованих даних –

; ;

для згрупованих даних, коли частоти різні:

Усі розглянуті показники варіації характеризують абсолютний розмір відхилення і виражаються в тих самих одиницях виміру, в яких виражені варіанти і середня. Для порівняльної характеристики варіації рядів із різними рівнями застосовується відносний показник варіації — коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації— це відношення середнього квадратичного відхилення до середньої величини, виражене у відсотках:

.

Він наочно характеризує варіацію ознаки і є певною мірою надійності середньої. Якщо коефіцієнт варіації більший 33 %, то це означає, що середня не дуже надійна для даної сукупності і сукупність за цією ознакою неоднорідна.

Ознайомившись з основним теоретичним матеріалом з цієї теми, необхідно використати дані проектного завдання та розрахунки попередньої теми, щоб розрахувати середню арифметичну зважену, моду, медіану та показники варіації за даними, які характеризують рівень урожайності. Окремо необхідно розрахувати середню способом моментів.

Для розрахунку середньої арифметичної способом моментів необхідно використовувати дві властивості середньої арифметичної:

1 якщо усі варіанти зменшити на якесь число а, то і середня зменшиться на це саме число;

2 якщо варіанти зменшити в і разів (розділити), то і середня зменшиться у стільки ж разів.

Середня способом моментів обчислюється за формулою:

=m₁i + a,

де m₁ – момент першого порядку. Він дорівнює: ,

де а – число, на яке зменшуються усі варіанти, частіше це варіанта, що перебуває в середині ряду або має найбільшу частоту; і – величина інтервалу (оскільки в нашому випадку ряд рівноінтервальний).

Використовуючи інтервальний варіаційний ряд розподілу за рівнем урожайності зернових культур, визначимо середній рівень урожайності для всієї сукупності способом моментів. Розрахунки у табл. 4.

4. Розрахунок середньої арифметичної способом моментів

Групи за рівнем урожайності зернових	Частоти f	Центр інтервалу, х	х-а, а=29	, і=4		хf
15 – 19			-12	-3	-18
19 – 23			-8	-2	-2
23– 27			-4	-1	-2

Продовження табл. 3

27 – 31
Разом		-	-	-	-24

Результати обчислень, наведених у таблиці, підставляємо у формулу:

m₁= -1,2 m₁і + а = -1,2*4 +29 = 24,2 ц.га.

Паралельно визначаємо середню арифметичну зважену:

.

Отже, середня арифметична, розрахована двома різними способами, дає один і той самий результат, і ми можемо стверджувати, що середній рівень урожайності зернових культур за сукупністю сктановить 24,2 ц.га.

Модою у статистиці називають величину ознаки варіанти, котра найчастіше зустрічається в сукупності. У інтервальних рядах розподілу моду визначають за такою формулою:

,

де х₀ – мінімальна межа модального інтервалу, і – розмір модального інтервалу, f₁ – частота інтервалу, що передує модальному, f₂ – частота модального інтервалу, f₃ – частота інтервалу, що стоїть за модальним.

За даними табл. 1 визначимо моду. Оскільки найбільша частота повторень складає 10 то мода буде знаходитися у четвертій групі:

Мо= 27 +4 = 28,8 ц.га;

Медіана – це варіанта, що стоїть у середині рангованого ряду і поділяє його навпіл, тобто ряду, розташованого у порядку зростання або спадання варіантів.

Медіана в інтервальному ряду розподілу визначається за формулою:

Ме= ,

де х₀ – мінімальна межа медіанного інтервалу; і- величина медіанного інтервалу; - напівсума частот (половина одиниць сукупності); S_Me-1- суманакопичу вальних частот, що стоять перед медіанним інтервалом; f_Me – частота медіанного інтервалу.

За даними табл. 1 визначимо медіану. Медіанним буде той інтервал, сума накопичувальних частот якого перша перевищує половину сукупності. У нашому випадку це – четвертий інтервал (27 – 31), оскільки його накопичувальна частота дорівнює 20, а це перше значення яку перевищує половину сукупності 10 (10=20: 2).

Ме= =27ц.га.

Після визначення середніх виникає питання про їх типовість або показовість, тобто про те, наскільки правильно і точно характеризує середня сукупність за досліджуваною ознакою, наскільки однорідна сукупність, що характеризується цією середньою. Для цього в статистиці використовуються показники варіації.

Використовуючи дані табл. 1 і розрахунки табл. 4 ( =24,2) визначаємо показники варіації для згрупованих даних.

5. Розрахунок показників варіації

№ групи	Групи за рівнем урожайності зернових	Частоти	Центр інтервалу, х	Розрахункові дані
	f	^2	^2 f
	15 – 19			7,2	43,2	51,84	311,04
	19 – 23			3,2	6,4	10,24	20,48
	23– 27			0,8	1,6	0,64	1,28
	27 – 31			4,8		23,04	230,4
	Разом		-	-	99,2	-	563,2

Розмах варіації — це різниця між найбільшим і найменшим зна­ченням ознаки: R = X_max –X_min = 31-15 =16 ц.га..

Оскільки наші данні представлено у вигляді інтервального варіаційного ряду розподілу, використовуємо формули для згрупованих даних.

Середнє лінійне відхилення - = ;

Дисперсія - = ;

Середнє квадратичне відхилення - = ;

Коефіцієнт варіації - .

Розрахувавши середні величини і показники варіації, ми можемо зробити висновок, що в цілому за сукупністю (20 господарств) середній рівень урожайності зернових культур становить 24,2 ц.га в той же час він коливається на ± 5,3ц.га або на 21,9% відносно середнього рівня.

Дата добавления: 2015-08-31