Свойства операции проецирования

Геометрические характеристики оригинала при проведении той или иной операции проецирования могут изменяться или оставаться неизменными. Не искажающиеся свойства называют инвариантами проецирования.

Самыми общими инвариантами являются инварианты центрального проецирования. Они правомерны и для параллельного и ортогонального случая и состоят в следующем:

1) проекция точки – это всегда точка: К ® К_i (Рис. 3 а);

2) проекция прямой – это прямая: [ АВ ] ® [ А_iВ_i ] (Рис. 3 б), за исключением случая вырождения ее в точку при расположении прямой параллельно направлению проецирования: [ DE ] // s, [ DE ] ® D _i = (E_i) (Рис. 3 в);

3) если точка инцидентна (принадлежит) прямой в оригинале, то и проекция точки всегда будет инцидентна одноименной проекции прямой на любой плоскости проекций: C Î [ АВ ] ® C_i Î [ А_iВ_i ], C_j Î [ А_jВ_j ] (Рис. 3 б).

Для параллельного проецирования, наряду с вышеперечисленными, существуют еще дополнительные инварианты:

4) параллельные прямые проецируются в виде параллельных прямых: [ FG ] // [ HI ] ® [ F_iG_i ] // [ H_iI_i ], [ F_jG_j ] // [ H_jI_j ] (Рис. 3 г);

5) отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых (или на одной прямой), сохраняется: [ FG ] // [ HI ] ® [ FG ] / [ HI ] = [ F₁G₁ ] / [ H₁I₁ ] (Рис. 3 г) (или C Î [ АВ ] ®[ АС ] / [ СВ ] = [ А_iС_i ] / [ С_iВ_i ] (Рис. 3 б).

6) если фигура принадлежит плоскости a, перпендикулярной плоскости проекций П_i, то проекция фигуры совпадает со следом плоскости a_i (след плоскости – это линия пересечения плоскости a с плоскостью П_i: a_i = a Ç П_i): D123 Î a, a ^ П_i ® (1_i; 2_i; 3_i) Ì a_i (Рис. 3 д).

Для ортогонального проецирования можно выделить еще дополнительный инвариант:

7) если фигура принадлежит плоскости b, параллельной плоскости проекций П_i, то проекция на П_i равна истинной величине фигуры: [ LM ] Î b, b // П_i ® ï L_iM_i ï = и.в. ï LM ï (Рис. 3 е).

а б в г д е

Рисунок 3

Дата добавления: 2015-07-13