XI. Функции случайных величин

1. X и Y – независимые случайные величины, заданные рядами распределения:

	-1
	0,2	0,3	0,5			0,4	0,6

Найти:

а) ряд распределения случайной величины , найти ;

б) ряд распределения случайной величины , найти

в) ряды распределения случайных величин и , найти .

2. Пусть X и Y – независимые случайные величины, заданные законами распределения:

	0,3	0,2	0,5			0,6	0,4

Не строя ряд распределения, определить: а) ; б) в)

3. Совместное распределения д.с.в. X и Y задано таблицей:

X\Y
	0,2	0,15	0,1
	0,3	0,2	0,05

Найти: а) ряд распределения с.в. ; б)

4. Известно, что н.с.в. . Найти: а) плотность распределения и функцию распределения с.в. б) плотность распределения и функцию распределения с.в.
в)

5. Случайная величина X имеет плотность распределения Найти плотность распределения вероятностей g(y) случайной величины Y, если: а) б)

Ответы: VI. 1.а)

	28/45	16/45	28/45

б) 0; 17/45; в) 576/2025; 2; г) 1,6;
2. б) 0,98; 0,28; в) 1,7; г) 0,5; 2; 3. б) 0,99; 1; в) 0,18; 2; 4. б) 0; 0,104; в) 2,4; г) 0,693; 3; 5. а) 0,4; 0,5; б) 0,7; 3,61; 1,9; 2; в) 0,095; VII. 1. а) 1/2; б) ; в) 0; 0,125; 1/64; г) 3/4; 3/80; 0,194; ; 1; 2. а) 1; в) 0,5; 1; 0,25; г) 2/3; 1/18; 0,236; 0,707; 1; 3. а) 1,5; б) ; в) 1; 0,5; г) 1; 2; 4. а) 2/9; б) ;
в) 1; г) 16/81; 5. а) 1/π; б) ; в) 1/3; VIII. 1. 288; 2/3; 2. а) 17; б) 2,55; 3. а) 9; б) 591; в) ; 4. а) 2; 1,41; б) ; 5. а) 3,439; б) 10; 6. а) 25; б) ; 7. а) 196; 14; б) ; 8. б) 25/3; в) 3/5; 9. б) 5/6; в) 2/3; 10. а) 0,1587; б) 0,6826; в) 9; 11. 0,5; 12. 0,9546;
IX. 1. а) ; б) ; в) 2. а) ; б) ; в) 3. а)
б) 4. а) ; б) ; в) 5. ; 6. 0,8468; 7. 0,8888;
X. 1. а)

X\Y
	0,02	0,18
	0,08	0,72

б) 0,8; 0,9; 0,16; 0,09; 0; 2. б) 0,8; 0,8; 0,16; 0,16; 0; 3. см. 6.12.8 Лунгу; 4. а) 0,05; в) зависимы;
г)

	-1
	4/11	1/11	6/11

д) 2/11; е) 3/11; ж) -0,5; 0; 24,75; 0,8; -0,22; XI. 1.

а)						б)		-3	-2
	0,08	0,24	0,38	0,3		0,12	0,08	0,3	0,2	0,3

в)
	0,3	0,7		0,4	0,6
M(V)=0,7	M(U)=4,2

2. а) 3,84; б) 5,2; в) 1; 0,8; 3. а)

		-2	-1
	0,1	0,15	0,25	0,2	0,3

б) -3,05; 4. а) 6.13.32 Лунгу; б) 6.13.32 Лунгу; в) 2; 2/3; 5. 6.13.31 Лунгу

XII. Выборочный метод. Метод моментов.

1. Дана выборка с.в. X, распределенной по показательному закону. Найти:
a) точечную оценку параметра распределения λ; б) выборочную исправленную дисперсию.

2. Проводится 10 опытов по 5 испытаний в каждом. С.в. X – число появлений события А при 5 испытаниях. Получена следующая выборка: . Найти: а) точечную оценку параметра ; б) выборочное исправленное с.к.о.

3. Стеклянные однородные изделия были направлены для реализации в 1000 контейнерах в город А. После поступления товара было выявлено количество разбитых бутылок в каждом контейнере. Результаты представлены в таблице:

Количество разбитых бутылок в партии
Количество партий

Найти: а) точечную оценку параметра а, предполагая, что число разбитых изделий описывается законом Пуассона; б) выборочную дисперсию.

4. Дана выборка равномерно распределенной на отрезке [2 a, 6 a ] с.в. X. Определить значение параметра a, используя метод моментов.

5. С.в. X имеет распределение Пуассона с параметром a. В результате 10 наблюдений получена следующая выборка: . Найти точечную оценку параметра a.

6. Из партии случайным образом отобраны 5 электронных устройств. Результаты измерений напряжения источника питания в этих устройствах: 12; 11,5; 12,5; 12,5; 12,3. Предполагается, что напряжение описывается СВ , распределенной по нормальному закону . Методом максимального правдоподобия найти оценку неизвестных параметров и .

Ответ: 1. а) 0,282; б) 1,7093; 2. а) 0,48; б) 1,51; 3. а) 0,291; б) 0,415; 4. 0,38; 5. 2,8; 6. 12,16; 0,38

XIII. Интервальные оценки.

1. При оценке уровня безработицы в городе были отобраны 200 человек рабочих специальностей. Из них 194 человек имеют работу. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для доли p работающих в городе.

2. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

С надежностью 0,99 построить доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения.

3. При обследовании средней зарплаты работающих жителей города была сделана выборка из 61 человека. Получены следующие данные:

Заработная плата (усл. ед.)	60-70	70-80	80-90	90-100
Количество жителей

Найти доверительный интервал с надежностью 0,9 для средней заработной платы, если генеральное значение дисперсии равно 25.

4. Найти с надежностью 0,95 пределы, в которых находится генеральное значение a среднего срока службы изделия, если в выборке объема 300 изделий средний срок службы оказался равным 1200 часов, а выборочная дисперсия – 324.

Ответ: 1. 2. 3. 4.

XIV. Проверка статистических гипотез.

1. Завод рассылает новые каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламное изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значимо эффективнее первой? Уровень значимости положить равным 0,05.

Указание: в качестве альтернативной гипотезы взять .

2. Точность работы станка проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 0,15. По данным из 25 отобранных изделий вычислена выборочная дисперсия . При уровне значимости выяснить, обеспечивает ли станок требуемую точность, т.е. проверить гипотезу против .

3. По техническим условиям средняя прочность троса составляет 2000 кг. В результате испытания 20 кусков троса было установлено, что средняя прочность на разрыв равна 1955 кг при средней ошибке кг. При уровне значимости 0,05 проверить, удовлетворяет ли образец троса техническим условиям?

Указание: в качестве альтернативной гипотезы взять .

4. По результатам 9 замеров установлено, что выборочное среднее время (в секундах) изготовления детали . Предполагая, что время изготовления – нормально распределенная случайная величина с дисперсией , рассмотреть на уровне значимости 0,05 гипотезу , против конкурирующей

Ответы: 1. отвергаем; 2. отвергаем; 3. отвергаем;
4. Нет оснований отвергнуть

XV. Линейная регрессия.

1. С.в. X – затраты на развитие производства, с.в. Y – годовая прибыль фирмы. В результате наблюдений в течение 5 лет получены следующие данные:

X, ден.ед.
Y, ден.ед.

Найти и сделать вывод о наличии линейной связи между X и Y. Построить уравнение линейной регрессии Y на X.

2. Результат наблюдения за величиной месячной прибыли фирмы Y (тыс. усл. ед.) от темпов инфляции X (%) представлены в таблице:

X	0,1	0,11	0,12	0,13	0,14
Y	7,2	6,9	6,4	6,2	6,3

Проверить наличие линейной связи между Y и X. Построить уравнение линейной регрессии Y на X.

3. Имеются данные о средней заработной плате рабочих X (млн. руб.) и об объеме валовой продукции Y (тыс. ден. ед.):

X	0,1	0,2	0,2	0,3	0,4
Y		0,9		1,1	1,2

Проверить наличие линейной связи между Y и X. Построить уравнение линейной регрессии X на Y. Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при .

Ответы: 1. 2.
3.

XVI. Дисперсионный анализ.

1. Для проверки влияния внутрицехового оформления на качество продукции рассмотрены три участка по производству однотипной продукции и проведена выборочная проверка % брака за 5 месяцев. Результаты наблюдений занесены в таблицу:

Номер измерения	Участки
№1	№2	№3

При уровне значимости проверить наличие связи между внутрицеховым оформлением участка и качеством продукции.

2. В трех филиалах одного из банков были организованы три уровня различных услуг для клиентов. После этого в течение шести месяцев измерялись объемы вкладов X (млн. $.). Результаты наблюдений занесены в таблицу:

Месяц	Филиалы
№1	№2	№3
	2,3	1,2
	4,2
		2,4	3,2
		2,5
	3,5		3,5

При уровне значимости проверить наличие связи между уровнем организации услуг в различных филиалах банка и объемами вкладов.

3. На предприятии проводилось исследование влияния квалификации рабочих на их заработную плату (млн. руб). Результаты наблюдений занесены в таблицу:

	Квалификационный разряд
№1	№2	№3	№4	№5
Заработная плата	1,5	2,4	2,9	3,4	4,8
1,7	2,8	3,4	3,8	4,2
1,9	-	3,0	-	4,5

При уровне значимости проверить наличие связи между квалификационным разрядом и заработной платой, предварительно заполнив пропуски в таблице:

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	12,76	Б	В	Д	0,00002	Е
Внутри групп	А		Г
Итого	13,32

4. Группа, разрабатывающая новую подписную политику, решила проверить, как влияет прямой маркетинг по телефону на количество подписчиков. Были отобраны по 15 мужчин и женщин, к которым применялись разные формы обращения (личное формальное, личное неформальное, безличное). Продолжительность телефонных разговоров измерялась в секундах, прошедших с момента ответа до момента, когда абонент положил трубку.

Результаты приведены в таблице.

	личное формальное	личное неформальное	безличное
Мужской	45,6	41,7	35,3
Мужской		42,8	37,7
Мужской	41,8
Мужской	35,6	39,6	28,7
Мужской	43,4		31,8
Женский	44,1	37,9	43,3
Женский	40,8	41,1
Женский	46,9	35,8	43,1
Женский	51,8	45,3	39,6
Женский	48,5	40,2	33,2

Оцените, какие факторы влияли на продолжительность разговора, если результаты дисперсионного анализа приведены в следующей таблице. Уровень значимости 5%.

Предварительно заполните пропуски

Дисперсионный анализ

Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
межблоковая	57,685	А	Б	Ж	0,07780	К
межгрупповая	В		139,629	З	0,00191	Л
взаимодействие	31,217		Г	И	0,41270	М
внутригрупповая	407,848	Д	16,994
общая	Е

Ответы: 1. внутрицеховое оформление существенно влияет на % брака;

2. уровень организации услуг в различных филиалах банка существенно влияет на объемы вкладов

3. Д=45,6; Е=3,84 квалификационный разряд влияет на уровень заработной платы

4. А=1; Б=57,685; В=279,258; Г=15,61; Д=24; Е=776,008; Ж=3,395; З=8,217; И=0.918.

Пол абонента не влияет на продолжительность разговора при a=0,05 (P-Значение=0,0778 >a).

Форма общения влияет на продолжительность разговора при a=0,05 (P-Значение=0,001914 <a).

Совместно два фактора не влияют на продолжительность разговора при a=0,05 (P-Значение=0,4127 >a).

Дата добавления: 2017-01-13