Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения вида: y’’ =f(x). Нет переменных y и y’ (7)

Решается путем повторного интегрирования.!,!,!

Пусть y’ = p, тогда y’’ = p’ иполучаем уравнение 1-ого порядка: p’ = f(x). Умножим на dx обе части уравнения, проинтегрируем и получим p = f(x) dx = F(x) + C₁ , но p = y’ и приходим ко 2 - ому уравнению с разделяющимися переменными: y’ = F(x) + C₁. Егообщее решение: y = F(x) dx + C₁ x + C₂

Пр. y’’ = cos x. Пусть y’ = p, тогда y’’ = p’ и p’ = cos x р.п. dp = cos x dx, p = sin x + C₁, но p = y’ и y’ = sin x + C₁ р.п. dy = (sin x + C₁) dx, y = - cos x + C₁x + C₂

Пр. y`` = 4 cos 2x, y`` = 1 /(1 + x²), y``` = 6 / y³

Уравнения вида: F(x, y’, y’’) = 0. Нет переменной у. (8)

Подстановка y’ = p, y’’ = dp/dx приводит к уравнению первого порядка F(x, p, dp/dx) = 0. Решение этого уравнения p = g(x, C₁) после перехода от p к y’ превращается во второе уравнение с разделяющимися переменными: y’ = g(x, C₁).

Пр. y’’x = y’. Пусть y’ = p, тогда y’’ = p’ и p’x = p р.п., егорешение:

dp/p = dx/x, dp/p = dx/x, ln p = ln x + ln C₁ = ln C₁x p = C₁x; но p = y’ y’ = C₁x р.п. или dy = C₁x dx, что дает общее решение y = C₁ x² + C₂.

Пр. x³y`` + x<sup>2</sup> y` = 1, y`` x ln x = y`, y`` tg x = y` + 1

Уравнение вида: F(y, y’, y’’) = 0. Нет переменной х. (9)

Подстановка y’ = p и переход от производной по х к производной по у

y’’ = dp/dx = (dp/dy) (dy/dx) = p dp/dy приводит к уравнению 1 - ого порядка

F(y, p, p dp/dy) = 0. Решение этого уравнения p = g(y, C₁) после перехода от p к y’ превращается во второе уравнение 1 - ого порядка с разделяющимися переменными:

dy = g(y, C₁) dx.

Пр. yy’’ + (y’)² = 0. Пусть y’ = p, тогда y’’ = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = pdp/dy и yp dp/dy + p² = 0 р.п., его решение: dp/p = -dy/y, dp/p = - dy/y,

ln p = - ln y + ln C₁ p = C₁/y; но p = y’ y’ = C₁/y р.п. или ydy = C₁dx, что дает общий интеграл y²/2 = C₁x + C₂.

Пр. yy`` + (y`)<sup>2</sup> = 0, y`` tg y = 2(y`)<sup>2</sup>, y`` + 2y(y`)³ = 0

Дата добавления: 2017-01-13