Линейные и однородные диф.уравнения n - ого порядка (ЛОДУ) имеют общий вид

Линейные дифференциальные уравнения.

a_n(x) y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x) y^(n-1) +... + a₁(x) y’ + a₀(x) y = 0 (10)

где a_i(х) -некоторые дифференцируемые функции. Если в правой части (10) появляется свободный член f(x), то уравнение наз. неоднородным (ЛНДУ).

Основные свойства решений ЛОДУ. Пусть y₁ и y₂ -решения ЛОДУ. Тогда их сумма y₁ + y₂ также являются решением. Действительно, т.к. (y₁ + y₂)^(k) = (y₁)^(k) + (y₂)^(k), то выражение (10) распадается на два отдельных уравнения, которым удовлетворяют решения y₁ и y₂. Если y – решение ЛОДУ, то Cy также является его решением. Действительно, т.к. (Су)^(k) = C(y)^(k), то общий множитель С в (10) можно вынести за скобки. Эти примеры показывают, что решения ЛОДУ образуют бесконечно большое множество и их приходится делить на линейно зависимые и независимые.

Опр. Функции y₁, y₂,..., y _k наз. линейно зависимыми на интервале (a,b), если любую из них можно представитькак линейную комбинацию остальных. Условие линейной зависимости

(11)

где c_i -некоторые константы и > 0.

Пусть функции y₁, y₂,..., y_n частные, линейно зависимы решения уравнения (10). Эти функции можно дифференцировать не менее чем n раз. Поэтому, кроме условия (11) справедливы еще n равенств , где m = 1, 2,..., n. Составим определитель Вронского (вронскиан)

W_n = (12)

Умножим каждый i столбец на с_i и прибавим к последнему столбцу. В результате все элементы последнего столбца обратятся в 0 по условию (11), (11а) и определитель W_n = 0. Таким образом, общее условие линейной зависимости n частных решений ЛОДУ (10) эквивалентно условию W_n = 0.

Дата добавления: 2017-01-13