Рівноуповільненим. 1 страница

1) 2)

Уповільненим.

3) 4)

3) 4)

Н·м.

Рад/с2.

.

3) 4)

1) 2)

Розв’язання. В даному прикладі по заданому закону руху точки М, який представлений в природній формі, треба визначити напрямок вектора її швидкості в момент часу с.

Для відповіді на поставлене питання треба спочатку визначити положення точки на траєкторії в заданий момент часу с, а для цьоготреба підрахувати значення дугової координати S_Мв цей момент часу:

S_М = 0,1t₁ ² - 0,8t₁= 0,1·1² - 0,8·1 = - 0,7 м.

Получене значення дугової координати показує, що точка М в заданий момент часу проходе положення, що знаходиться на траєкторії зліва від початку відліку (S_М < 0) на відстані 0,7м від нього.

Далі треба визначити швидкість точки в заданий момент часу за формулою так, як це показано в прикладі 5.

Примітка. Якщо в заданий момент часу швидкість точки приймає значення , то це означає, що вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії руху точки у додатному напрямку відліку (+), якщо ж , то вектор спрямований по дотичній до траєкторії у від’ємному напрямку відліку (-).

Скористуємось результатами прикладу 5 (закони руху точки в прикладах 5 і 6 ідентичні): значення швидкості становить м/с. Тоді на рисунку вектор швидкості треба зобразити із вказаного положення точки по дотичній до траєкторії у від’ємному () напрямку відліку.

Правильне положення точки М і правильний напрямок вектора показано у відповіді 4).

Приклад 7. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьохзначущих цифр.

Якщо точка М (рис. 14) рухається по коловій кривій радіуса мвідповідно закону

OM = S_М = 0,1t² - 0,8t (м),

то її повне прискорення a _М в момент часу с приймає значення: 1) a _м = 0,633 м/с²;

2) a _м = 0,447 м/с²;

3) a _м = 0,721 м/с²;

4) a _м = 0,586 м/с².

Розв’язання. В даному прикладі по заданому закону руху точки М, який представлений в природній формі, треба встановити значення повного прискорення точки в заданий момент часу с.

При природному способі завдання руху точки вектор її повного прискорення розкладається на два складових вектора - тангенціальне (дотичне) і нормальне прискорення: .

Так як ці вектори взаємно перпендикулярні, то величина вектора повного прискорення точки відповідає формулі: .

Тангенціальне прискорення обчислюється як перша похідна за часом від закону зміни швидкості точки . Ця похідна фактично визначає про-екцію вектора прискорення точки на дотичну до траєкторії і тому її чисельне значення в розрахунках супроводжується знаком. Нормальне прискорення обчислюється за формулою , де - радіус кривизни траєкторії точки.

Примітка. Тангенціальне прискорення точки відсутнє при рівномірному русі точки, тобто коли V=const (тоді ) і існує при нерівномірному русі точки, тобто коли V const. Нормальне прискорення точки існує при криволінійному русі точки і відсутнє при прямолінійному русі точки, так як радіус кривизни прямої дорівнює нескінченності, тоді:

Визначимо тангенціальне прискорення точки. Оскільки

, то

м/с² = const.

Визначимо нормальне прискорення точки. Так як при с швидкість точки приймає значення м/с (див. приклад 5), то

м/с².

Тоді величина повного прискорення точки при с становить:

м/с².

Таким чином, правильною буде відповідь 2).

Примітка. Треба зауважити, що в прикладі 7 швидкість точки в заданий момент часу t₁ = 1с має від ’ ємне значення, а тангенціальне прискорення точки – додатне значення, тобто швидкість і тангенціальне прискорення точки мають різні знаки. Це означає, що рух точки буде уповільненим. Якщо ж звернути увагу ще й на той факт, що тангенціальне прискорення точки – стала величина, тобто = const, то рух точки можна назвати рівноуповільненим.

Приклад 8. Вказати правильну відповідь.

Якщо точка М (рис. 15) рухається по круговій кривій радіуса мвідповідно закону

OM = S_М = 0,1t² - 0,8t (м),

то її повне прискорення в момент часу смаєнаступнийнапрямок:

1) 2)

3) 4)

Розв’язання. В даному прикладі по заданому закону руху точки М, який представлений в природній формі, треба визначити напрямок вектора прискорення в момент часу с.

Для відповіді на поставлене питання треба спочатку визначити положення точки на траєкторії в заданий момент часу , а для цього, як і у прикладі 6,треба підрахувати значення дугової координати S_Мв заданий момент часу с: м.

Значення дугової координати показує, що точка М в заданий момент часу проходе положення, що знаходиться на траєкторії зліва від початку відліку (S_М < 0) на відстані 0,7м від нього.

Далі треба визначити (за величиною) складові вектора повного прискорення точки - тангенціальне і нормальне прискорення , - так, як це показано в прикладі 7. Для заданого в даному прикладі закону руху і моменту часу ці значення становлять (див. приклад 7):

м/с²; м/с².

Примітка. Вектор тангенціального прискорення точки спрямований по дотичній до траєкторії руху точки у додатному напрямку відліку (+), якщо в заданий момент часу його значення становить , і у від’ємному напрямку відліку (-), якщо . Вектор нормального прискорення точки завжди спрямований до центру кривизни траєкторії (у бік увігнутості траєкторії).

Напрямки складових прискорень будуть наступними: вектор тангенціального прискорення точки спрямований із вказаного вище положення точки по дотичнійдо траєкторії у додатному напрямку відліку (+), так як ; вектор нормального прискорення спрямований із того ж положення точки до центру кривизни траєкторії, тобто до центра кругової кривої (окружності).

Оскільки повне прискорення точки дорівнює векторній сумі складових прискорень , то на рисунку результуючий вектор буде зображуватись діагоналлю паралелограма (прямокутника), побудованого на складових векторах як на сторонах.

Правильне положення точки М і правильні напрямки векторів , , показані у відповіді 4).

2.2.2. Кінематика твердого тіла. Поступальний рух твердого тіла. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Передача рухів в системах тіл

Приклад 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо в механічній системі (рис. 16) ступінчастий диск обертається відповідно закону

φ = 0,1t² + 0,4t (рад),

а його радіуси мають значення м, м, то в заданий момент часу t₁= 2c швидкості точки М диска і тіла C становлять:

1) V _М = 0,4 м/с ; V _C = 0,16 м/с;

Рис. 16

2) V _М = 0,3 м/с; V _C = 0,16 м/с;

3) V _М = 0,4 м/с; V _C = 0,24 м/с;

4) V _М = 0,3 м/с; V _C = 0,24 м/с.

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух системи, що складається з трьох тіл - А, С і D. Тіла А і С виконують поступальний рух, тому далі при розрахунках їх можна розглядати як точки. Тіло D виконує обертальний рух навколо нерухомої осі, що спрямована перпендикулярно до площини малюнка (рис. 16) і проходе через точку О. Тіло D представляє собою ступінчастий диск, для якого в умові прикладу задаються значення радіусів , більшого і меншого ободів. Тіла А і С зв’язані з диском D тросами, що не розтягуються. Тому в цій системі рух від одного тіла передається іншому за допомогою троса без зміни величин лінійної швидкості і тангенціального прискорення.

В даному прикладі по заданому закону обертального руху тіла D треба визначити лінійні швидкості точки М обода диска і тіла С (рис. 16).

Закон обертального руху тіла - це закон зміни за часом кута повороту тіла φ = φ(t). Маючи таку інформацію, визначимо кутову швидкість тіла як похідну за часом від закону руху тіла:

Так як кутова швидкість залежить від часу, то знайдемо її значення в заданий момент часу с: рад/с.

Далі через знайдену кутову швидкість визначимо лінійну швидкість точки М, як точки, що належить тілу, яке обертається. Вона дорівнює добутку кутової швидкості тіла D на відстань від точки М до осі обертання:

м/с.

Щоб визначити швидкість тіла С ( як точки) треба врахувати, що воно зв’язане з точками обода диска D меншого радіуса за допомогою троса, що не розтягується; тому швидкість тіла С буде дорівнювати лінійній швидкості будь-якої точки цього обода, які розташовані на відстані від осі обертання:

0,8·0,2 = 0,16 м/с.

Примітка. Відомо, що швидкості точок тіла, яке обертається, пропорційні їх відстаням до осі обертання. Так як швидкості точок обода диска з радіусом R дорівнюють швидкості тіла А, а швидкості точок обода диска з радіусом r дорівнюють швидкості тіла С, то швидкість V_C можна знайти ще із такого співвідношення:

м/с.

Таким чином, із чотирьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 1).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо кутова швидкість диска B (рис. 17) змінюється за законом ω = – 0,3t² + 0,9t (рад/c), а відстань ОМ = м, то в заданий момент часу сшвидкість таприскорення точки M диска будуть мати такі значення:

1) V _М = 0,7 м/с; a _М = 0,234 м/с²;

2) V _М = 0,3 м/с; a _М = 0,372 м/с²;

3) V _М = 0,3 м/с; a _М = 0,234 м/с²;

4) V _М = 0,7 м/с; a _М = 0,372 м/с².

Розв’язан ня. В даному прикладі по заданому закону зміни кутової швидкості диска В ω=ω(t) треба визначити швидкість та прискорення точки М диска в заданий момент часу t₁ = 2с.

Оскільки точка М – це точка тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, то лінійні кінематичні характеристики руху точки (V_М, a_М) без затруднень визначаються через кутові кінематичні характеристики обертального руху тіла (ω, ε).

Так, лінійна швидкість визначається за формулою V_M=w×OM=w×R, де кутова швидкість ω в заданий момент часу приймає значення:

рад/с.

Тоді м/с.

Оскільки в процесі обертання диска рух точки М відбувається по круговій кривій радіуса ОМ = R (рух точки криволінійний), то її повне прискорення буде складатися із двох взаємно перпендикулярних складових векторів – тангенціального і нормального прискорень: .

Тангенціальне прискорення визначається через кутове прискорення ε за формулою , а нормальне прискорення – через кутову швидкість ω: . Величина ж повного прискорення обчислюється за формулою .

Визначимо кутове прискорення диска як похідну за часом від закону зміни кутової швидкості:

Чисельне значення кутового прискорення в заданий момент часу t₁ = 2cстановить: рад/с².

Тоді складові вектори повного прискорення і повне прискорення точки М в заданий момент часу t₁ = 2с приймають наступні значення:

м/с²;

м/с²;

м/с².

Отже, із чотирьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 3).

Примітка. Треба зауважити, що в прикладі 2 кутова швидкість диска в заданий момент часу t₁=2c приймає додатне значення, а кутове прискорення – від ’ ємне значення, тобто ω і ε мають різні знаки. Це означає, що обертальний рух тіла буде уповільненим. Але цей рух не можна назвати рівноуповільненим,так як кутове прискорення тіла залежить від часу, тобто не є сталою величиною (e¹const).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь.

Якщо в механічній системі (рис. 18) тіло A рухається відповідно закону

S_A = 0,2t² + 0,3t (м),

а радіуси ступінчастого диска B становлять м, м, то в заданий момент часу скутове прискорення диска B та лінійне прискорення тіла С приймають наступні значення: 1) ε = 2,0 рад/с²; a _С = 1,40 м/с²;

2) ε = 1,8 рад/с²; a _С = 0,72 м/с²;

3) ε = 2,0 рад/с²; a _С = 0,80 м/с² ;

4) ε = 1,8 рад/с²; a _С = 1,40 м/с².

Розв’язання. В даному прикладі по заданому закону руху тіла А треба визначити кутове прискорення диска та лінійне прискорення тіла С в заданий момент часу с.

Оскільки тіло А в процесі переміщення системи виконує поступальний рух, то далі його будемо розглядати як точку. Закон руху тіла А дозволяє визначити його тангенціальне прискорення. Воно дорівнює другій похідній за часом від закону руху, або першій похідній від закону зміни швидкості:

; ;

м/с².

Слід зауважити, що точки обода диска меншого радіуса зв’язані з тілом А тросом, який не розтягується; тому вони мають по значенню такі ж самі швидкості і відповідно тангенціальні прискорення, як і тіло А. Тоді, враховуючи співвідношення , можна знайти кутове прискорення ε за формулою рад/с².

Повне прискорення тіла C (як точки) буде складатися з двох складових векторів – тангенціального і нормального прискорення: , а величина повного прискорення буде обчислюватись за формулою

.

Слід зауважити, що тіло С зв’язано тросом, який не розтягується, з точками обода диска більшого радіуса; тому тіло С має по значенню таке ж саме тангенціальне прискорення, як і точки обода диска. Тоді значення можна підрахувати за формулою м/с².

Величина нормального прискорення відповідає формулі , де ρ _C - радіус кривизни траєкторії тіла C (як точки), який дорівнює нескінченності в силу того, що рух точки відбувається по прямій; тому нормальне прискорення в цьому випадку відсутнє: . Тоді повне прискорення тіла C дорівнює тангенціальній складовій і його значення становить м/с².

Таким чином, із чотирьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 3).

Приклад 4. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо в механічній системі (рис. 19) ступінчастий диск D обертається відповідно закону

φ = 0,6t² − 0,2t (рад),

а його радіуси мають значення м, м, то в заданий момент часу с повне прискорення точки М диска і прискорення тіла C приймають значення:

1) a _М = 0,595 м/с²; a _С = 0,24 м/с²;

2) a _М = 0,624 м/с²; a _С = 0,32 м/с²;

3) a _М = 0,595 м/с²; a _С = 0,32 м/с²;

4) a _М = 0,624 м/с²; a _С = 0,24 м/с².

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух системи, що складається з двох тіл - С і D. Тіло С виконує поступальний рух, тому далі при розрахунках будемо розглядати його як точку. Тіло D виконуєобертальний рух навколо нерухомої осі, що спрямована перпендикулярно до площини малюнка і проходе через точку О (рис. 19). Це тілопредставляє собою ступінчастий диск, для якого в умові прикладу задаються значення радіусів - R, r.

Тут по заданому закону обертального руху тіла D треба визначити лінійні прискорення точки М обода диска і тіла С.

Знаючи закон обертального руху тіла D, можна визначити його кутову швидкість і кутове прискорення:

;

рад/с².

Так як кутова швидкість залежить від часу, то знайдемо її значення в заданий момент часу с: рад/с.

Далі через знайдену кутову швидкість і кутове прискорення диска визначимо нормальне, тангенціальне і повне прискорення точки М, що знаходиться на ободі диска.

Оскільки в процесі обертання диска рух точки М відбувається по круговій кривій радіуса ОМ = R (рух точки криволінійний), то її повне прискорення буде складатися із двох взаємно перпендикулярних складових векторів – тангенціального і нормального прискорень: .

Тангенціальне прискорення точки М визначається через кутове прискорення диска ε за формулою м/с² , а нормальне прискорення – через кутову швидкість диска ω:

Дата добавления: 2017-01-13