Рівноуповільненим. 2 страница

м/с² .

Величина ж повного прискорення точки становить:

м/с².

Тіло С зв’язано з диском тросом, який намотано на обід меншого радіуса.

Рух тіла С, як точки, прямолінійний (відбувається по вертикалі). Тому, слід зауважити, що нормальне прискорення тіла С, як точки, буде дорівнювати нулю:

, де ρ _C - радіус кривизни прямої.

Тоді повне прискорення тіла С буде дорівнювати тангенціальній складовій; а вона приймає таке саме значення, як і тангенціальне прискорення будь-якої точки обода диска меншого радіуса. Тобто

м/с².

Таким чином, із чотирьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 4).

Приклад 5. Вказати правильну відповідь.

Якщо тіло A механічної системи (рис.20) рухається відповідно закону

S_A= − 0,1t² + 0,8t (м),

то напрямки кутової швидкості і кутового прискорення диска, прискорення тіла А і точки M диска в момент часу t₁ =2cбудуть наступними:

1) 2) 3)

Розв’язання. В даному прикладі по заданому закону руху тіла А треба визначити напрямок кутового прискорення диска та напрямки лінійних прискорень тіла А та точки М диска в заданий момент часу t₁ = 2с.

Оскільки тіло А в процесі переміщення системи виконує поступальний рух, то далі його будемо розглядати як точку. Закон руху тіла А дозволяє визначити його швидкість і тангенціальне прискорення і, головне, встановити їх знаки. Треба тут зауважити, що згідно з рис. 20 додатний напрямок відліку відповідає додатним значенням координати S_A, які відкладаються донизу.

Швидкість тіла А, як точки, дорівнює похідній за часом від закону руху, а його тангенціальне прискорення дорівнює похідній за часом від закону зміни швидкості: ;

м/с² < 0.

Значення швидкості тіла А в заданий момент часу t₁ = 2с становить

м/с > 0.

Наведені результати свідчать про те, що швидкість тіла А приймає додатне значення, а його тангенціальне прискорення − від’ємне. Це означає, що вектор швидкості спрямований у додатному напрямку відліку координат S_A – униз, а вектор тангенціального прискорення спрямований у від’ємному напрямку відліку – уверх. Тоді кутова швидкість диска відповідно формулі (де r – радіус диска), має знак швидкості і спрямована у бік , тобто в даному випадку проти годинникової стрілки; а кутове прискорення відповідно формулі має знак тангенціального прискорення і спрямоване у бік цього вектора, тобто в даному випадку за годинниковою стрілкою.

Тоді нормальне прискорення тіла А, як точки, дорівнює нулю, так як рух його прямолінійний, а повне прискорення цього тіла дорівнює тангенціальній складовій і спрямовано уверх (як і тангенціальне прискорення).

Напрямок тангенціального прискорення точки М відповідає напрямку e, а її нормальне прискорення завжди спрямовано до центра кривизни траєкторії, тобто до осі обертання.

Отже, із трьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 2).

2.3. Динаміка

2.3.1. Динаміка точки

Приклад 1. Вказати правильну відповідь. Обчислення проводити з точністю до трьох значущих цифр.

Якщо сила ваги тіла А (рис. 21) має значення 100 H (P = 100 H),сила тяги і сила тертя відповідно становлять 15 H і 5 H(T = 15 H, = 5 H), то тіло будерухатись вздовж осі з прискоренням:

1) a = 2,0 м/с²;

2) a = 4,0 м/с²;

3) a = 6,0 м/с²;

4) a = 8,0 м/с².

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух тіла А униз по нахиленій площині, що розташована під кутом 30° до горизонту. Треба визначити прискорення тіла А, якщо відомі усі сили, що діють на нього під час руху.

Оскільки тіло А в процесі переміщення виконує поступальний рух, то далі його будемо розглядати як точку.

Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися основним рівнянням динаміки точки

.

Для отримання чисельних результатів це векторне рівняння треба записати в скалярному вигляді, тобто в проекціях на координатні осі. Так як рух тіла А, як точки, прямолінійний, то достатньо це рівняння спроектувати на напрямок руху, тобто на задану вісь x:

;

тут прискорення точки проектується на вісь x в натуральну величину − , а сума проекцій усіх сил на вісь x становить:

= T + P·sin30 − = 15 + 100·0,5 − 5 = 60Н.

Масу точки визначимо через силу ваги за формулою кг.

Тоді рівняння динаміки приймає вигляд: . Звідки прискорення тіла А, як точки, дорівнює м/с².

Таким чином, із чотирьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 3).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

На заданому переміщенні S_A (рис. 22) від’ємну роботу ( < 0) виконує:

1) сила ;

2) сила ;

3) сила .

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух тіла А уверх по нахиленій площині, що розташована під кутом β до горизонту. Треба визначити,

яка з трьох сил, що діє на тіло під час руху, виконує від’ємну роботу на переміщенні S_A цього тіла.

Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися загальною формулою для обчислення роботи сили, яка має вигляд

Тут F − модуль (величина) сили, S − переміщення точки прикладення сили, α − кут між напрямком сили і напрямком переміщення. Із формули випливає, що знак роботи дає множник . Якщо кут α гострий (α < 90 ⁰ ), то значення косинуса додатне і робота сили додатна (+); якщо кут α тупий (α > 90 ⁰), то значення косинуса від’ємне і робота сили від’ємна (–); якщо ж кут α прямий (α = 90 ⁰; сила перпендикулярна до переміщення ), то значення косинуса дорівнює нулю і робота сили дорівнює нулю.

В даному випадку тупий кут з напрямком переміщення S_A утворює сила : α = 90 ⁰ + . Оскільки косинус тупого кута від’ємний, тому від’ємну роботу буде виконувати сила .

Отже, із трьох відповідей, наведених в прикладі, правильною буде відповідь 3).

Примітка.Із загальної формули для обчислення роботи сили випливає така ознака, що допомагає визначити без розрахунків знак роботи:якщо сила прискорює рух точки (тіла), то робота її додатна(+); якщо уповільнює рух – то робота її від’ємна (–); якщо ж сила не впливає на рух (не прискорює його і не уповільнює), то робота її дорівнює нулю.

В даному прикладі прискорює рух тіла сила , бо спрямована вона у бік руху ( = 0; = 1) і робота її додатна; уповільнює рух тіла сила (вона гальмує рух тіла уверх по площині) і робота її від’ємна; не впливає на рух тіла сила (не прискорює рух і не уповільнює його), тому робота її дорівнює нулю ( = 90⁰, = 0; сила перпендикулярна до переміщення S_A).

2.3.2. Динаміка твердого тіла та системи тіл

Приклад 1. Вказати правильну відповідь.

Якщо на диск (рис.23) масою m = 10 кг і радіусом R= 0,4 м діє момент сил опору М_оп = 2 Н·м, то обертальний рух диска відбувається з кутовим прискоренням, яке за абсолютним значенням становить:

1) | ε | = 1,8 рад/с²;

2) | ε | = 2,5 рад/с²;

3) | ε | = 1,5 рад/с²;

Розв’язання. Щоб відповісти на питання прикладу, треба скористуватися основним рівнянням динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі: Тут I_Z – момент інерції тіла відносно осі обертання z, що спрямована в даному випадку перпендикулярно до площини малюнка і проходе через центр мас диска – точку С; ε – кутове прискорення тіла;

– сума моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно осі обертання. Тоді кутове прискорення тіла визначається за формулою

.

До суми моментів усіх сил відносно осі обертання надходить лише момент сил опору, так як інші сили, що діють на тіло в процесі руху (сила ваги , сили , – складові реакції нерухомого шарніра C), моментів відносно осі обертання не створюють, так як перетинають цю вісь (проходять через ось):

Формула для обчислення I_z – моменту інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі, має вигляд:

,

де m – маса диска, R – його радіус.

Підставимо дані в наведені формули і получимо чисельний результат:

Н·м; к г · м²;

рад/с².

Отже, з наведених в прикладі відповідей правильною буде відповідь 2).

Приклад 2. Вказати правильну відповідь.

Якщо механічна система (рис. 24) складається із вантажів А масою m_А = 10 кг та D масою m_D = 4 кг і ступінчастого диску В з радіусом інерції ρ_в = 0,4м (R_В = 0,5м; r_В = 0,2м ) і масою m_В = 5 кг, то при значенні швидкості тіла АV_A = 2м/c кінетична енергія системи дорівнює:

1) Т^сист = 100 Dж;

2) Т ^сист = 110 Dж;

3) Т ^сист = 120 Dж;

4) Т^сист = 130 Dж.

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і D ), які зв’язані між собою тросами. В процесі переміщення системи ці троси не розтягуються. Треба визначити кінетичну енергію заданої системи в тому її положенні, коли швидкість тіла А приймає значення V_A = 2м/c.

Кінетична енергія системи дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл і точок системи і в даному випадку становить

,

де , , − кінетичні енергії відповідно тіл А, В і D системи.

Кінетична енергія тіла залежить не тільки від його швидкості і маси, але ще й від виду руху. Тому при визначенні треба враховувати вид руху кожного тіла системи і, крім того, швидкості усіх тіл системи в даному прикладі слід виражати через задану швидкість V_A.

Тіло А рухається поступально в процесі переміщення системи, тому його

кінетична енергія обчислюється за формулою і при підстановці чисельних даних приймає значення Dж.

Тіло (ступінчастий диск)виконує обертальний рух відносно центральної осі z_с, що проходе перпендикулярно до площини малюнка через центр мас диска (точку С); тому кінетична енергія диска обчислюється за формулою , де − момент інерції диска відносно центральної осі z_с, а − його кутова швидкість.

Момент інерції ступінчастого диска відносно центральної осі обчислюється за формулою , де − маса диска , а − його радіус інерції відносно центральної осі. При підстановці чисельних даних момент інерції приймає значення .

Кутову швидкість треба виразити через задану швидкість V_A:

рад/с.

Тоді кінетична енергія тіла приймає значення:

Dж.

Тіло D системи, як і тіло А,рухається поступально, тому його кінетична енергія обчислюється за аналогічною формулою .

Швидкість V_D тіла D треба визначити через задану швидкість V_A із співвідношення .

Тоді м/с і кінетична енергія тіла D приймає значення: Dж.

В результаті кінетична енергія системи буде наступна:

Dж.

Із 4-ох відповідей, наведених у прикладі, правильною буде відповідь 2).

Приклад 3. Вказати правильну відповідь (прискорення вільного падіння g прийняти рівним 10 м/с²).

Якщо маси тіл системи (рис. 25) та радіуси диска В мають відповідно значення m_A = 15 кг, m_В = 6 кг, m_D = 4 кг; R_B = 0,5м, r_B = 0,2м,а коефіцієнт тертя тіла А становить µ_А= 0,4, то сумарна робота зовнішніх сил, що діють на систему на переміщенні S_A = 2м, становить:

1) = + 72,4 Н·м;

2) = − 33,6 Н·м;

3) = + 48,8 Н·м;

Розв’язання. В даному прикладі розглядається рух механічної системи, що складається із трьох тіл (тіла А, В і D ), які зв’язані між собою тросами; в процесі переміщення системи троси не розтягуються. Треба визначити сумарну роботу зовнішніх сил, що діють на систему на заданому переміщенні S_A = 2м.

До зовнішніх сил, що діють на систему в процесі руху, відносяться усі сили, що зображені на рис. 25: активні сили − сили ваги тіл , , ; реакції зовнішніх в’язей − складові реакції площини , ; складові реакції нерухомого шарніра , .

Однак треба зауважити, що не усі зовнішні сили виконують роботу. Так сили , , прикладені до точки С, яка не переміщується в процесі руху системи, тому їх робота дорівнює нулю: , так як . Сила спрямованаперпендикулярно до напрямку переміщення тіла А, тому робота її теж дорівнює нулю: , так як .

Із наведених сил тільки три сили будуть виконувати роботу: сили ваги тіл , і сила тертя, що прикладена до тіла А − . Ці сили сталі за величиною і сталі занапрямком по відношенню до переміщень точок їх прикладення, а робота таких сил обчислюється за спрощеним правилом: робота сталої сили дорівнює добутку модуля сили на переміщення точки прикладення сили і на косинус кута між напрямком сили і напрямком переміщення.

Таким чином, в даному прикладі сума робіт зовнішніх сил буде складатися із трьох доданків: .

Сила прикладена до центра ваги тіла А і виконує роботу на заданому переміщенні S_A. Кут α між напрямком сили і напрямком переміщення становить60⁰, так як сила ваги діє донизу по вертикалі, а переміщення точки прикладення сили відбувається униз по площині, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 25. Тому робота сили обчислюється за формулою: .

Оскільки в умові прикладу задаються маси тіл системи, то величину сили ваги треба виразити через масу тіла A і прискорення вільного падіння g,якепо умові прикладу слід приймати рівним 10 м/с²(). Тоді робота сили приймає значення: Н·м.

Сила тертятеж прикладена до тіла А і виконує роботу на заданому переміщенні S_A. Ця сила завжди діє у бік, протилежний до переміщення, тобто створює з напрямком переміщення кут . Тому робота сили тертя обчислюється за формулою:

.

Значення сили тертя відповідає виразу , де величину нормальної складової реакції площини треба обчислити за формулою

H.

Тоді сила тертя буде дорівнювати H, а робота сили тертя приймає значення Н·м.

Сила прикладена до центра ваги тіла D і виконує роботу на переміще-нні центра ваги цього тіла S_D. Кут α між напрямком сили і напрямком переміщення становить180⁰, так як сила ваги діє по вертикалі униз, а переміщення тіла D відбувається по вертикалі уверх, про що свідчить напрямок вектора швидкості на рис. 25. Тому робота сили обчислюється за формулою

.

Переміщення S_D треба виразити через переміщення S_A, встановивши між ними кінематичний зв'язок, аналогічний зв’язку між швидкостями:

і .

Із останнього співвідношення випливає, що м і робота сили становить Н·м.

Тоді сума робіт зовнішніх сил приймає значення:

Дата добавления: 2017-01-13