Революционер-неудачник 2 страница

Вообразил ли он себе все от начала до конца и его чувства никогда не пользовались взаимностью или же он исходно получил некое поощрение, вслед за чем был отвергнут, — в любом случае похоже, что Галуа стал жертвой наихудшего варианта неразделенной любви. Или все на самом деле обстояло еще хуже? Вскоре после разрыва со Стефани — или того, что Галуа интерпретировал как разрыв, — некто вызвал его на дуэль. Предлог состоял в том, что этот человек возражал против ухаживаний Галуа за некоей молодой дамой, однако подробности снова скрыты от нас завесой тайны.

Стандартный вариант истории — это политические интриги. Такие писатели, как Эрик Темпл Белл и Луи Коллрос, сообщают нам, что политические противники Галуа сочли, что его любовная лихорадка по отношению к мадмуазель дю Мотель есть прекрасный повод устранить своего врага, спровоцировав «дело чести». Еще одно, довольно дикое, предположение состоит в том, что Галуа пал жертвой полицейского шпиона.

Эти теории выглядят маловероятными. Дюма в своих «Мемуарах» утверждает, что убил Галуа некий Пеше д'Эрбенвиль, соратник по республиканскому делу, которого Дюма описывает как «очаровательного молодого человека, который занимается главным образом изготовлением хлопушек из шелковой бумаги и украшает их розовыми ленточками». То была ранняя версия хлопушек, которые в наши дни в ходу на Рождество. Д'Эрбенвиль был вроде как героем для простонародья, поскольку входил в число девятнадцати республиканцев, оправданных по обвинению в заговоре с целью свержения правительства. Без сомнения, он не был полицейским шпионом, потому что имена всех таких шпионов назвал в 1848 году Марк Коссидьер, возглавлявший в то время полицию.

Из полицейского отчета о дуэли можно заключить, что второй участник был одним из товарищей Галуа по революционному делу и что дуэль представляла собой именно то, что и должна была представлять. Эта теория существенно подкрепляется собственными словами Галуа:

Я прошу моих друзей-патриотов не упрекать меня за то, что я отдаю жизнь не на благо своей страны. Я умираю жертвой подлой кокетки. Мою жизнь гасит жалкая сплетня. О! Почему приходится умирать из-за такого пустяка, умирать ради того, что так презираешь! <…> Не вините тех, кто убил меня. Они были честны.

Или он не знал, что пал жертвой политического заговора, или же такого заговора не было.

Кажется, что Стефани и в самом деле была по крайней мере косвенной причиной дуэли. Перед тем как отправиться на поединок, Галуа оставил что-то вроде прощальных записей у себя на столе. В них содержатся слова «Une femme» — «женщина», причем второе слово вымарано. Но истинная причина остается такой же туманной, как и многое другое в этой истории.

Математическая же история намного яснее. 29 мая, накануне дуэли, Галуа описал свои открытия в письме Огюсту Шевалье. Шевалье в конце концов опубликовал это письмо в Revue Encyclopedique. В этой работе намечена связь между группами и полиномиальными уравнениями, формулируется необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах.

Галуа, кроме того, упоминает свои идеи об эллиптических функциях и об интегрировании алгебраических функций, а также некоторые другие вещи, слишком загадочные, чтобы в них можно было разобраться. Нацарапанное на полях замечание «У меня нет времени» породили другой миф: что Галуа провел ночь перед дуэлью, неистово записывая свои математические открытия. Но рядом с этой фразой стоит: «Замечание автора», что противоречит такой картине; более того, письмо было объяснительной запиской по поводу отвергнутой третьей статьи Галуа, с замечанием на полях, сделанным Пуассоном.

Дуэль происходила на пистолетах. В отчете о вскрытии говорится, что стрелялись с 25 шагов, но истинная картина могла быть даже страшнее. Статья в номере Le Precursor от 4 июня 1832 года сообщала:

Париж, 1 июня. Вчера злосчастная дуэль отняла у науки юношу, подававшего самые блестящие надежды. Увы, его преждевременная известность связана только с политикой. Молодой Эварист Галуа… дрался на дуэли с одним из своих юных друзей. Оба молодых человека — члены Общества друзей народа, и оба фигурировали в одном и том же политическом процессе. Есть сведения, что дуэль была вызвана какой-то любовной историей. Противники избрали в качестве оружия пистолеты. Когда-то они были друзьями, поэтому сочли недостойным целиться друг в друга и решили положиться на судьбу. Стреляли в упор, но из двух пистолетов заряжен был только один. Пуля ранила Галуа навылет. Его перенесли в больницу Кошен, где он умер два часа спустя. Галуа исполнилось двадцать два года, его противнику L.D. — чуть меньше.

Могло ли «L.D.» означать Пеше д'Эрбенвиля? Возможно. Буква D приемлема ввиду тогдашнего разнобоя с написанием; a L могла быть ошибкой. Статья не слишком надежна в том, что касается подробностей, — в ней неправильно указаны дата дуэли, а также день смерти Галуа и его возраст. Так что инициал тоже вполне мог оказаться ошибочным.

У космолога и писателя Тони Ротмана есть более убедительная версия. Лицо, которое более всего подходит под данное описание, — это не д'Эрбенвиль, а Дюшатле, некогда арестованный вместе с Галуа на Новом Мосту. Биографы Галуа Робер Бурнь и Жан-Пьер Азра сообщают, что Дюшатле был наречен именем Эрнест, но это может оказаться неверным — или, опять же, инициал L ошибочен. Вот что пишет Ротман: «Мы приходим к очень согласованной и правдоподобной картине, когда два старых друга влюбляются в одну и ту же девушку и решают прояснить ситуацию с помощью такого чудовищного варианта русской рулетки».

Эта теория согласуется еще и с ужасающим финальным поворотом сюжета. Галуа получил рану в живот, что в то время почти наверняка означало летальный исход. Такая рана не удивительна, если противники стрелялись с расстояния в несколько метров; если же дрались на 25 шагах, то перед нами еще один пример злой судьбы, преследовавшей Галуа.

Скончался он в больнице Кошен не через два часа, как утверждал Le Precursor, а на следующий день, 31 мая. Причиной смерти был перитонит; умирающий отказался от услуг священника. 2 июня 1832 года Галуа был похоронен в общей могиле на Монпарнасском кладбище.

Его письмо к Шевалье заканчивалось такими словами:

Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение — не о верности, а о важности этих теорем. Я надеюсь, что со временем появятся люди, которые захотят, к большой пользе для себя, расхлебать всю эту кашу.

Но что же на самом деле сделал Галуа? В чем состояла эта «каша», о которой он говорит в своем последнем письме?

Ответ на этот вопрос занимает центральное место во всем нашем рассказе, и его нелегко выразить в паре предложений. Галуа познакомил математику с новой точкой зрения, он изменил ее содержание и сделал необходимый, но непривычный шаг в сторону абстракции. В руках Галуа математика перестала быть наукой о числах и формах — арифметикой, геометрией и набором связанных с ними идей, таких как алгебра и тригонометрия. Она стала наукой о структурах. То, что было исследованием вещей, стало исследованием процессов!

Не следует приписывать всю заслугу в этой трансформации одному лишь Галуа. Он оказался на гребне волны, которую привели в движение Лагранж, Коши, Руффини и Абель. Но он двигался на ней с таким мастерством, что сделал ее своей собственной; он был первым, кто всерьез осознал — математические вопросы порой легче всего понять, если перенести их в область более абстрактных рассуждений.

Потребовалось некоторое время, чтобы красота и значение результатов Галуа пробили себе дорогу к широкому математическому сознанию. На самом деле их едва не потеряли. Спас их Жозеф Лиувилль, сын капитана Наполеоновской армии, ставший профессором в Коллеж де Франс. Лиувилль выступал перед французской Академией — собранием, которое затеряло или отвергло три мемуара Галуа — летом 1843 года.

«Я надеюсь заинтересовать Академию, — начал он, — рассказом о том, что среди бумаг Эвариста Галуа я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…»

Если бы Лиувилль не взял на себя долгий труд разбираться в бумагах неудачливого революционера, нередко неаккуратных и путаных рукописях, и не потратил бы значительное время и немалые усилия на угадывание того, что хотел сказать автор, эти рукописи, скорее всего, исчезли бы вместе с мусором, а теории групп пришлось бы ждать, пока те же идеи откроют заново. Так что математика в большом долгу перед Лиувиллем.

Понимание предложенных Галуа методов росло, рождалась новая мощная математическая концепция — концепция группы. Целая ветвь математики — исчисление симметрий, называемое теорией групп — появилась на свет и с тех пор проникла в каждый уголок математики.

Галуа работал с группами перестановок. Перестановка — это способ переупорядочить список объектов. В его случае объектами были корни алгебраического уравнения. Простейший из содержательных примеров дается кубическим уравнением общего вида, у которого имеются три корня a, b и с. Напомним, что есть шесть способов переставить эти символы и что — следуя Лагранжу и Руффини — можно перемножать любые две перестановки, выполняя их последовательно. Мы видели, например, что cba&#215;bca = acb. Действуя подобным же образом, можно построить «таблицу умножения» для шести перестановок. Чтобы было яснее видно, что происходит, припишем каждой перестановке имя, например, положим I = abc, R = acb, Q = bac, V = bca, U = cab и P = cba. Тогда таблица умножения будет выглядеть следующим образом.

	I	U	V	P	Q	R
I	I	U	V	P	Q	R
U	U	V	I	R	P	Q
V	V	I	U	Q	R	P
P	P	Q	R	I	U	V
Q	Q	R	P	V	I	U
R	R	P	Q	U	V	I

Элемент этой таблицы, стоящий в строке X и столбце Y, представляет собой произведение XY, получаемое по правилу «сначала Y, потом X».

Галуа понял, что некое очень простое и очевидное свойство этой таблицы оказывается исключительно важным. Произведение любых двух перестановок само является перестановкой; во всей таблице содержатся только символы I, U, V, P, Q, R. Некоторые меньшие наборы, состоящие из перестановок, обладают тем же «групповым свойством» — произведение любых двух перестановок из набора также представляет собой перестановку из этого набора. Галуа назвал такой набор перестановок группой.

Например, набор [I, U, V] дает меньшую таблицу — таблицу умножения для подгруппы из трех перестановок.

	I	U	V
I	I	U	V
U	U	V	I
V	V	I	U

Здесь возникают только те же три символа. В такой ситуации, когда одна группа является частью другой, она называется подгруппой.

Другие подгруппы — а именно [I, P], [I, Q] и [I, R] — содержат только по две перестановки. Имеется также подгруппа [I], состоящая только из I. Можно доказать, что эти шесть подгрупп исчерпывают список подгрупп в группе всех перестановок на шести символах.

Итак, говорит нам (хотя и на несколько ином языке) Галуа, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Предположим, например, что между корнями a и b имеется алгебраическое соотношение a + b ² = 5. Является ли перестановка R симметрией? Ну, если следовать данному выше определению, то R оставляет a на месте, но меняет местами b и c, так что должно быть выполнено еще и условие a + c ² = 5. Если оно не выполняется, то R определенно не является симметрией. Если же выполняется, то надо проверить все остальные алгебраические соотношения между корнями, которые могут иметь место, и если R пройдет все эти проверки, то, значит, R — симметрия.

Нахождение того, какие именно перестановки являются симметриями данного уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть что-то, в чем можно быть уверенным вообще без всяких вычислений: набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней.

Почему? Предположим, например, что и P, и R сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Если взять некоторое соотношение и применить R, то получится верное соотношение. Если далее применить P, то снова получится верное соотношение. Но применение R, а затем P — это то же самое, что применение PR. Следовательно, PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым свойством.

Этот простой факт лежит в основе всего сделанного Галуа. Он говорит нам, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа — его группа симметрии; сейчас она называется группой Галуа в честь своего изобретателя. Причем группа Галуа любого уравнения всегда является подгруппой в группе всех перестановок его корней.

Из этого ключевого усмотрения вырастает естественная стратегия атаки. Узнаем, какие подгруппы возникают в каких обстоятельствах. В частности, если уравнение можно решить в радикалах, то группа Галуа этого уравнения должна отражать этот факт в своей внутренней структуре. Далее, задавшись любым уравнением, находим его группу Галуа и проверяем, действительно ли она обладает требуемой структурой. Таким образом мы получаем ответ на вопрос о разрешимости в радикалах.

А далее Галуа переформулировал всю задачу с совершенно иной точки зрения. Вместо построения башни с лестницами он вырастил некое дерево.

Не то чтобы он сам называл свой метод «деревом» — так же как не упоминал Абель о «башне» Кардано, однако идею Галуа можно, тем не менее, изобразить как процесс, который снова и снова ответвляется от центрального ствола. Ствол — это группа Галуа данного уравнения. Ветви, веточки и листья — различные подгруппы.

Подгруппы возникают естественным образом, как только мы задумаемся о том, как изменяются симметрии уравнений, когда мы начинаем брать радикалы. Как изменяется группа? Галуа показал, что если извлекается корень p- й степени, то группа симметрии должна разбиться на p различных блоков одинакового размера. (Здесь, как заметил Абель, всегда можно предполагать, что число p простое.) Так, например, некая группа из 15 перестановок может разбиться на 5 групп из 3 элементов каждая или на три группы из 5 каждая. Существенно важно, что блоки должны удовлетворять некоторым очень строгим условиям; в частности, один из них должен сам по себе образовывать подгруппу некоторого специального вида, известного под именем «нормальной подгруппы индекса p». Можно представлять себе, что ствол дерева разбился на p меньших веток, одна из которых соответствует нормальной подгруппе.

Нормальные подгруппы в группе всех шести перестановок на трех символах таковы: вся группа [I, U, V, P, Q, R], подгруппа [I, U, V] (таблицы умножения которых мы только что видели) и подгруппа из одной-единственной перестановки, т.е. [I]. Три другие подгруппы, содержащие каждая по две перестановки, не являются нормальными.

Пусть, например, мы желаем решить общее уравнение пятой степени. Имеется пять корней, так что наши перестановки будут перестановками на пяти символах. Таких перестановок ровно 120. Коэффициенты уравнения, будучи полностью симметричными, обладают группой, состоящей из всех 120 перестановок. Эту группу мы будем представлять себе как ствол дерева. Каждый отдельный корень обладает группой, которая содержит лишь одну перестановку — тривиальную. Так что у дерева 120 листьев. Наша цель состоит в том, чтобы соединить ствол с листьями, добавляя ветви и веточки, структура которых отражала бы свойства симметрии различных величин, возникающих, если начать возиться с формулой для корней, которые, по нашему предположению, выражаются в радикалах.

Пусть для удобства рассуждений первый шаг в формуле состоит в извлечении корня пятой степени. Тогда группа из 120 перестановок должна разбиться на 5 кусков, в каждом из которых содержится по 24 перестановки. Так что у дерева вырастут пять ветвей. Технически это ветвление должно соответствовать нормальной подгруппе индекса 5.

Однако Галуа смог доказать — просто изучая перестановки, — что такой нормальной подгруппы не существует.

Ладно, может быть, следует начать, скажем, с корня седьмой степени. Тогда 120 перестановок должны разбиться на семь блоков одного и того же размера — что невозможно, поскольку 120 не делится на 7. Значит, корня седьмой степени нет. На самом деле нет никаких корней простой степени, за исключением 2, 3 и 5, потому что именно таковы простые делители числа 120. А мы как раз исключили 5.

Что же тогда, начнем с кубического корня? К сожалению, не получится: группа из 120 перестановок не имеет нормальной подгруппы индекса 3.

Все, что осталось, — квадратный корень. Имеется ли в группе из 120 перестановок нормальная подгруппа индекса 2? Имеется, причем ровно одна. Она содержит 60 перестановок и называется знакопеременной группой. Так что, используя теорию групп Галуа, мы установили, что любая формула для решения общего уравнения пятой степени должна начинаться с квадратного корня, что приводит к знакопеременной группе. При первом ветвлении ствола появляются всего две ветви.

Но всего имеется 120 листьев, так что дерево должно и дальше как-то ветвиться. Как оно это делает? Простые делители числа 60 — это те же 2, 3 и 5. Так что каждая новая ветвь должна делиться на две, три или пять веточек. Другими словами, нам надо добавить или еще один квадратный корень, или кубический корень, или корень пятой степени. Более того, это можно сделать, если, и только если, знакопеременная группа содержит нормальную подгруппу индекса 2, 3 или 5.

Но содержит ли она такую нормальную подгруппу? Вопрос этот — целиком вопрос о перестановках на пяти символах. Исследуя такие перестановки, Галуа смог доказать, что в знакопеременной группе вообще нет нормальных подгрупп (за исключением всей группы и тривиальной подгруппы [I]). Это «простая» группа, одна из тех основных компонент, из которых можно построить все группы.

Не нашлось достаточного количества нормальных подгрупп, чтобы соединить ствол со всеми листьями при помощи ветвлений на простое число веток на каждом шаге. Так что процесс решения уравнения пятой степени в радикалах натыкается на внезапную остановку после того первого шага, заключающегося в добавлении квадратного корня. Идти больше некуда. Нет дерева, по которому можно было бы добраться от ствола до листьев, а потому нет формулы для корней в терминах радикалов.

Доказательство Галуа неразрешимости уравнения пятой степени.

Та же идея работает для уравнений степени 6, 7, 8, 9 — любой степени, старшей 5. Теперь неизбежно возникает вопрос, а почему же уравнения второй, третьей и четвертой степени, тем не менее, разрешимы? Чем выделены степени 2, 3 и 4? В действительности теория групп точно говорит нам, как решить уравнения второй, третьей и четвертой степени. Я оставлю в стороне технические подробности, а вместо этого просто покажу как выглядят деревья. Они в точности соответствуют классическим формулам.

Использование групп для решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.

Теперь мы начинаем видеть красоту идеи Галуа. Из нее следует не только доказательство неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах, но и объяснение, почему общие уравнения второй, третьей и четвертой степени все же имеют решения в радикалах; более того, примерно видно то, и как эти решения устроены. Если поработать еще немного, можно извлечь и точный вид этих решений. Наконец, подход Галуа позволяет отличить те уравнения пятой степени, которые нельзя решить, от тех, которые можно, и говорит нам, как решить эти последние.

Группа Галуа всякого уравнения сообщает нам все, что мы можем пожелать узнать о его решениях. Так почему же Пуассон, Коши, Лакруа и все остальные специалисты не запрыгали от радости, увидев, что же сделал Галуа?

Группа Галуа хранит ужасную тайну.

Тайна эта такого рода. Самый простой способ получить группу какого-либо уравнения состоит в использовании свойств его корней. Но, разумеется, все дело как раз в том, что мы, как правило, не знаем, каковы эти корни. Не будем забывать, что цель состоит в решении уравнения, то есть в нахождении его корней.

Предположим, что кто-то подарит нам конкретное уравнение пятой степени, скажем

x ⁵ &#8722; 6 x + 3 = 0

или

x ⁵ + 15 x + 12 = 0

и попросит использовать методы Галуа, чтобы определить, можно ли решить его в радикалах. Вполне законный вопрос.

Страшная правда состоит в том, что с использованием методов, доступных Галуа, нет никакого способа на него ответить. Можно утверждать, что скорее всего соответствующая группа содержит все 120 перестановок — и если это так, то тогда решить уравнение нельзя. Но мы не знаем наверняка, действительно ли появляются все 120 перестановок. Быть может, пять корней удовлетворяют некоторому специальному условию. Откуда нам знать?

Сколь бы красивой ни была теория Галуа, ей присущи жесткие ограничения. Она имеет дело не с коэффициентами, а с корнями. Другими словами — не с тем, что известно, а с тем, что неизвестно.

Сегодня можно зайти на подходящий математический веб-сайт, ввести туда свое уравнение, и сайт вычислит для вас его группу Галуа. Сегодня известно, что первое из приведенных выше уравнений не разрешимо в радикалах, а второе разрешимо. Я хочу подчеркнуть здесь не то, что мы используем компьютер, а тот факт, что кто-то выяснил, какие шаги надо предпринять для решения задачи. Главнейшее после Галуа продвижение в этой области состояло в разработке способов вычисления группы Галуа любого заданного уравнения.

У самого Галуа таких методов не было. Предстояло пройти целому столетию, чтобы рутинные вычисления групп Галуа стали возможны. Отсутствие же таких методов частично оправдывает реакцию Коши и Пуассона. Они могли сетовать, причем с полным основанием, что идеи Галуа не позволяли решить проблему о разрешимости в радикалах любого данного уравнения.

Чего они не смогли увидеть, так это того факта, что метод Галуа на самом деле решал чуть другую задачу: определить, какие свойства корней делают уравнение разрешимым. Эта задача получила изящный и глубокий ответ. Что же касается задачи, решение которой они хотели бы получить от Галуа… ну, в ней нет причин ожидать четкого ответа. Просто не существует ясного способа классифицировать разрешимые уравнения в терминах легковычисляемых свойств их коэффициентов.

До сих пор интерпретация групп как симметрий несколько отдавала метафорой. Теперь нам надо сделать ее более буквальной, и этот шаг потребует более геометрической точки зрения. Последователи Галуа быстро осознали, что соотношение между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. На самом деле именно так этот предмет обычно и объясняют в учебных курсах.

Чтобы получить некоторое представление об этом соотношении, кратко осмотрим мою любимую группу — группу симметрий равностороннего треугольника. И зададимся наконец самым фундаментальным вопросом: что же, строго говоря, есть симметрия?

До Галуа все ответы на этот вопрос были довольно расплывчаты и включали в себя размахивание руками и апелляцию к таким свойствам, как изящество пропорции. С концепциями такого типа настоящей математики не построишь. После Галуа спустя недолгий период времени, на протяжении которого математический мир разбирался с общими идеями, стоящими за их очень конкретным применением, — возник простой и двусмысленный ответ. Во-первых, слово «симметрия» надо понимать как «некая симметрия», «одна из симметрий». Объекты не обладают одной-единственной симметрией; они часто имеют много различных симметрий.

Но что же тогда такое эти симметрии? Симметрия некоторого математического объекта — это преобразование, которое сохраняет структуру объекта. Через секунду я разверну это определение в нечто большее, но прежде всего надо заметить, что симметрия представляет собой скорее процесс, нежели объект. Симметрии Галуа являются перестановками (корней уравнения), а перестановка — это некий способ переупорядочить вещи. Строго говоря, это не само переупорядочивание, а правило, которое надо применить, чтобы добиться этого переупорядочения. Не блюдо, а рецепт.

Подобное различие может показаться мелочным занудством, но именно оно лежит в основе всего предприятия.

В определении симметрии имеются три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Позвольте объяснить их, используя пример равностороннего треугольника. У такого треугольника по определению все три стороны имеют одинаковую длину, а все три угла — одну и ту же величину, а именно 60°. Из-за этих свойств трудно отличить одну сторону от другой; фразы типа «самая длинная сторона» здесь ничего не значат. Углы также неразличимы. Как мы сейчас увидим, невозможность отличить одну сторону от другой или один угол от другого является следствием симметрий равностороннего треугольника. В действительности этим его симметрии и определяются.

Рассмотрим эти три слова по очереди.

Преобразование. Нам разрешается кое-что делать с нашим треугольником. В принципе имеется масса вещей, которые с ним можно проделать: согнуть его, повернуть на некоторые угол, смять его, растянуть, как если бы он был сделан из резины, покрасить в розовый цвет. Наш выбор, однако, более узок и ограничен вторым из наших слов.

Структура. Структура нашего треугольника состоит из математических свойств, которые полагаются существенными. Структура треугольника включает такие вещи, как «у него три стороны», «стороны — прямые линии», «одна сторона имеет длину 7,32 дюйма», «он располагается на плоскости вот в этом месте» и так далее. (В других областях математики существенные свойства могут оказаться другими. В топологии, например, существенно только то, что треугольник образует один замкнутый путь, а наличие трех углов и прямолинейность сторон не имеют значения.)

Сохраняет. Структура преобразованного объекта должна соответствовать структуре исходного. Преобразованный треугольник должен также иметь три стороны — так что сминание его исключается. Стороны должны оставаться прямыми, так что складывать нельзя. Одна сторона должна по-прежнему иметь длину 7,32 дюйма, так что растягивать треугольник тоже запрещено. Положение должно быть тем же самым, так что сдвиг на десять футов в сторону не дозволяется.

Цвет явным образом не упоминается в качестве структуры, так что окрашивание треугольника не имеет значения. Не то чтобы оно было под запретом — просто оно не составляет различия для геометрических целей.

Поворот треугольника на некоторый угол, однако, действительно сохраняет по крайней мере кое-что из структуры. Если вырезать равносторонний треугольник из картона, положить его на стол, а затем поворачивать, то он по-прежнему будет выглядеть как треугольник. У него будут три стороны, причем прямые, а их длины не изменятся. Однако положение треугольника на плоскости может оказаться иным, в зависимости от угла, на который его повернули.

Если я поверну треугольник, например, на прямой угол, то результат будет отличаться от первоначального. Стороны будут смотреть в других направлениях. Если вы закроете глаза, пока я буду его поворачивать, то, открыв их, сможете определить, что треугольник был повернут.

Поворот на прямой угол не является симметрией равностороннего треугольника.

Но если я поверну треугольник на 120°, вы не заметите никакой разницы между «было» и «стало». Чтобы показать, что я имею в виду, я тайно помечу углы кружками различного типа, так что мы сможем следить за тем, что куда отправляется. Эти кружки — только для нашей ориентации, они не составляют часть структуры, которая должна быть сохранена. Если вы закрываете глаза на кружки, если наш треугольник настолько лишен свойств, насколько это полагается всякому добропорядочному эвклидову объекту, то повернутый треугольник выглядит в точности как исходный.

Дата добавления: 2017-01-14