Отлов с относительной квотой.

Квоты отлова.

До сих пор мы рассматривали свободную популяцию, развивающуюся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что мы отлавливаем часть популяции (скажем, ловим рыбу в пруду или в океане). Предположим, что скорость вылова постоянна. Мы приходим к дифференциальному уравнению отлова

х = (1 — х)х — с.

Величина с характеризует скорость вылова и называется квотой. Вид векторного поля и поля фазовой скорости при различных значениях скорости вылова с показан на рис. 14. Мы видим, что при не слишком большой скорости вылова (0 < с < 1/4) существуют два положения равновесия (А и В на рис. 14). Нижнее положение равновесия (х = А) неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болезни) в некоторый момент величина популяции х опустится ниже А, то в дальнейшем вся популяция за конечное время вымрет. Верхнее положение равновесия В устойчиво — это стационарный режим, на который выходит популяция при постоянном отлове с.

Если с > 1/4, то равновесий нет и вся популяция будет отловлена за конечное время.

При с = 1/4 имеется одно неустойчивое состояние равновесия (А = В = 1/2). Отлов с

такой скоростью при достаточно большой начальной численности популяции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако сколь угодно малое колебание численности установившейся равновесной популяции вниз приводит к полному вылову популяции за конечное время.

Таким образом, хотя теоретически допустимы любые квоты, вплоть до максимальной (с <= 1/4), максимальная квота с = 1/4 приводит к неустойчивости и недопустима. Более того, практически недопустимы и близкие к 1/4 квоты, так как при них опасный порог А близок к установившемуся режиму В (небольшие случайные отклонения отбрасывают популяцию ниже порога А, после чего она погибает). Оказывается, однако, что можно организовать отлов так, чтобы устойчиво получать улов со скоростью 1/4 за единицу времени (большего получить нельзя, так как 1/4 — это максимальная скорость размножения необлавливаемой популяции).

Фиксируем вместо абсолютной скорости отлова относительную, т.е. фиксируем отлавливаемую за единицу времени долю наличной популяции:

х = (1 — х)х — рх.

Вид векторного поля и интегральные кривые (при р < 1) изображены на рис. 15. Нижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке х = 0, второе положение равновесия В устойчиво при любом р, 0 < р < 1.

После некоторого периода установления популяция выходит на стационарный режим х = В. Абсолютная скорость отлова устанавливается при этом равной с = рВ. Это — ордината точки пересечения графиков функций v = (1 — х)х и v = рх (рис. 15, слева).

Исследуем поведение этой величины с при изменении р. При малых относительных выловах (малых р) установившаяся скорость отлова также мала; при р —> 1 она тоже стремится к нулю (перелов). Наибольшее значение абсолютной скорости с равно наибольшей ординате графика функции v = (1 — х)х. Оно достигается, когда прямая v = рх проходит через вершину параболы (т.е. при р = 1/2), и равно с = 1/4.

Выберем р = 1/2 (т. е. назначим относительную квоту так, чтобы установившаяся популяция составляла половину необлавливаемой). Мы достигли максимально возможной стационарной скорости облавливания с = 1/4, причем система остается устойчивой (возвращается к установившемуся состоянию при малых отклонениях начальной популяции от установившейся).

Дата добавления: 2017-02-01