Застосування математичного планування експерименту в наукових дослідженнях

Рішення більшості проблем з експлуатації і ремонту сільськогосподарської техніки пов’язано із проведенням складних і дорогих експериментів Створення нової технології, оптимізація нових і вже існуючих процесів вимагають величезного числа дослідів.

Методи оптимального планування експерименту дають змогу використовувати математичний апарат не тільки на стадії обробки результатів вимірів, але також при підготовці і проведенні дослідів.

У сучасній математичній теорії оптимального планування експерименту існує два основних розділи:

1. Планування експерименту для вивчення механізмів складних процесів і властивостей багатофакторних систем.

2. Планування експерименту для оптимізації технологічних процесів і властивостей багатофакторних систем.

Планування експерименту – це вибір числа дослідів і умов їхнього проведення, необхідних і достатніх для рішення поставленої задачі з потрібною точністю. В даний час розроблені різні методи планування експериментів. Вибір методу визначається з урахуванням постановки задачі й об’єкту дослідження.

Один з найбільш популярних методів – метод планування екстремального експерименту.

Експеримент, який ставить для рішення задач оптимізації, називається екстремальним. Ця назва пов’язана з аналогією між рішенням задачі оптимізації і пошуком екстремуму деякої функції. Задача є екстремальною, якщо її ціль – пошук екстремуму деякої функції.

Прикладами задач оптимізації є вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей (наприклад, сплавів) підвищення продуктивності діючих агрегатів та ін. Перш ніж планувати експеримент, потрібно сформулювати мету дослідження. Від точного формулювання мети у значній мірі залежить і успіх дослідження. Необхідно також упевнитися, що об’єкт дослідження відповідає поставленим до нього вимогам.

У технологічних задачах метою дослідження при оптимізації процесу найчастіше є: підвищення експлуатаційної надійності сільськогосподарської техніки. Іноді ставиться обмежена ціль – підвищення ресурсів двигунів внутрішнього згоряння, зменшення витрат дефіцитного палива та ін.

Експеримент може безпосередньо проводитися на об’єкті (натурі) абона його моделі. Модель звичайно відрізняється від об'єкта масштабом, а іноді і природою. Якщо модель досить точно описує об'єкт, то експеримент на об'єкті може бути замінений експериментом на моделі. Останнім часом поряд з фізичними моде­лями більше поширення одержують абстрактні математичні моделі.

Результати експерименту використовуються для одержання математичної моделі об'єкта дослідження.

Використання для моделі всіх можливих дослідів призводить до значної кількості експериментів, у зв'язку з чим експеримент необхідно планувати. За дачею планування є вибір необхідних для експерименту дослідів, методів ма­тематичної обробки їхніх результатів і прийняття рішень.

Окремий випадок цієї задачі - планування екстремального експерименту, тобто експерименту, що ставиться з метою пошуку оптимальних умов функціо­нування об'єкта.

Отже, планування екстремального експерименту -це вибір кіль­кості та умов проведення дослідів, мінімально необхідних для відшукання оп­тимальних умов.

При плануванні експерименту об'єкт дослідження повинен володіти дво­ма обов'язковими властивостями:

1) результати експерименту повинні бути відтвореними;

2) об'єкт повинен бути керованим.

Експеримент називається відтвореним, якщо при фіксованих умовах дос­ліду в різний час одержуються той же самий вихід у межах заданої помилки ек­сперименту (2-5%).

Для виявлення відтворювання експерименту вибираються деякі і рівні для усіх факторів, і в цих умовах проводиться експеримент. Потім він повторю­ється через нерівні проміжки часу, і значення параметра оптимізації порівню­ються. Розкид цих значень характеризує відтворюваність результатів. Якщо він не перевищує деякої заздалегідь заданої величини (наших вимог до точності ек­сперименту) то об'єкт задовольняє вимозі відтворювання результатів.

Планування експерименту передбачає активне втручання в процес і мож­ливість вибору в кожнім досліді тих рівнів факторів, що становлять інтерес.

Експериментальне дослідження впливу вхідних параметрів (факторів) на вихідні може вироблятися методом пасивного або активного експерименту.

Якщо експеримент зводиться до одержання результатів спостережень за поведінкою системи при випадкових (стохастичних) змінах вхідних параметрів, то він зветься пасивним.

Якщо ж при проведенні експерименту вхідні параметри змінюються по заздалегідь складеному, залежному від волі експериментатора плану, то він на­зивається активним.

Об’єкт, на якому можливий активний експеримент зветься керованим. На практиці немає абсолютно керованих об’єктів. На реальний об’єкт звичайно діють керовані і некеровані фактори. Некеровані фактори впливають на відтворення експерименту.

Якщо усі фактори некеровані, виникає задача встановлення зв’язку між параметром оптимізації і факторами за результатами спостережень за об’єктом або за результатами пасивного експерименту.

Таким чином, більшість математичних методів планування екстремальних експериментів дає можливість за результатами експериментів скласти математичний опис процесу у вигляді рівнянь регресії. У цьому випадку планування експерименту і його проведення складається з наступних етапів:

1. Висловлюється гіпотеза про можливість опису процесу рівнянням регресії(степеневим рядом визначеного порядку).

2. У відповідності з прийнятою гіпотезою планується і проводиться експеримент.

3. За результатами експерименту розраховуються коефіцієнти регресії і складається математичний опис у відповідності з початковою гіпотезою.

4. Виконується статистична оцінка значущості коефіцієнтів рівняння регресії.

5. Здійснюється статистичний аналіз адекватності(відповідності) одержаного рівняння дійсному протіканню процесу.

6. Використовуючи одержане рівняння визначають оптимальні умови протікання процесу, що вивчається.

Прийняття рішень перед плануванням експерименту. Вибір експериментальної області факторного простору пов'язан з ретельним аналізом науково – технічної інформації за темою дослідження і виконується в два етапи:

- визначення основного(нульового) рівня;

- визначення інтервалів варіювання.

Для кожного фактора вибирається умовний основний (нульовий) рівень С_i0, тобто такі значення змінних, в області яких починається вивчення процесу – рух до оптимуму.

До нульового рівня становляться наступні вимоги:

1. У цій точці значення параметра оптимізації повинно бути найкращим.

2. Координати нульового рівня повинні знаходитись усередині області визначення.

У противному разі доводиться поступатись першою вимогою.

Вибір інтервалів вирівнювання. Для кожного фактора вибирається два рівня (верхній і нижній) на яких він буде варіюватись в експерименті. Звичайно фактори, які мають натуральну розмірність позначають через С_i (i=1…n), а безмірні – через x_i, які, як правило, використовують в планах і розрахунках. Перетворення натуральних змінних у безрозмірні (так зване кодування) виконується за формулою

(4.10)

де x_i – значення фактора у кодованих змінних;

С_i – значення фактора на одному з рівнів у натуральних змінних;

С_i0 – значення i – го фактора на нульовому рівні;

λ_i – інтервал варіювання;

i – номер фактора.

Плани повного факторного експерименту (ПФЕ)2ⁿ. Експеримент, у якому реалізуються усі можливі сполучення факторів на обраних рівнях називається повним факторним експериментом.

Кількість дослідів при ПФЕ2ⁿ визначається за формулою

N = 2ⁿ (4.11)

де N – кількість дослідів;

n – кількість факторів;

2 – кількість рівнів.

Згідно (11) необхідна кількість дослідів для різної кількості факторів складає:

n
N

Запишемо усі сполучення рівнів для ПФЕ2². Позначимо: ( , ) – нижній рівень факторів; (, ) – верхній рівень факторів. Тоді план ПФЕ2² можна записати так, як представлено у табл.1.

Таблиця1.План ПФЕ2² Таблиця2.План ПФЕ2²у натуральних змінних (матриця планування) у кодованих змінних

Номер досліду, u	Фактор	Функція відгуку, yu		Номер досліду, u	Кодовані змінні	Функція відгуку, yu
С1	С2		x1	x2
			y1			-1	-1	y1
			y2			+1	-1	y2
			y3			-1	+1	y3
			y4			+1	+1	y4

Якщо визначена нульова точка С_i0 і величина інтервалу варіювання λ_i, то значення факторів у натуральних розмінностях дорівнює

(4.12)

Згідно рівняння (10) одержимо для обох факторів у кодованих змінних на верхньому рівні:

на нижньому рівні

Тоді ПФЕ, наведений у табл.1 буде виглядати так, як наведено у табл.2, яка має назву – матриця планування.

Кожен стовпець такої таблиці зветься – вектор-стовпець, а кожен рядок – вектор-рядок.

За результатами дослідів, визначивши функції відгуку визначають коефіцієнти регресії для лінійної моделі.

y=β₀+β₁x₁+β₂x₂ (4.13)

Для цього підставимо у рівняння (13) значення x₁ та x₂ з табл.2:

y₁=β₀+(-1)β₁+(-1)β₂=β₀-β₁-β₂

y₂=β₀+(+1)β₁+(-1)β₂=β₀+β₁-β₂ (4.14)

y₃=β₀+(-1)β₁+(+1)β₂=β₀-β₁+β₂

y_u=β₀+(+1)β₁+(+1)β₂=β₀+β₁+β₂

Далі рівняння (14) алгебраїчно складаються після множення на +1(-1) у відповідності із стовпцями. При цьому стовпець для визначення β₁ відповідає стовпцю в плані для x₁, відповідно для β₂ – x₂. Маємо

y₁+y₂+y₃+y₄=4β₀

- y₁+y₂-y₃+y₄=4β₁ (4.15)

-y₁-y₂+y₃+y₄=4β₂

Звідси для обчислювання коефіцієнтів регресії одержимо наступні формули:

(4.16)

З чотирьох рівнянь (14) визначено тільки три параметри (β₀, β₁, β₂), хоча система з чотирьох рівнянь дозволяє визначити чотири невідомих. Таким чином залишається ще одна ступінь волі, яку можна використовувати для оцінки взаємодії факторів x₁ та x₂. Для цього, користуючись правилом множення стовбців одержують стовпець добутків цих двох факторів.

Рівняння регресії, що враховує ефекти парних ніж факторних взаємодій матиме вигляд

y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₁₂x₁x₂ (4.17)

План ПФЕ2² з урахуванням ефектів взаємодій факторів представлено у табл.3.

Таблиця 3. План повного факторного експерименту 2² з урахуванням взаємодії факторів.

Номер досліду,u	x0	Кодовані змінні	x1 x2	yu
x1	x2
	+1	-1	-1	+1	y1
	+1	+1	-1	-1	y2
	+1	-1	+1	-1	y3
	+1	+1	+1	+1	y4
	β0	β1	β2	β12

Дата добавления: 2017-02-01