Методи обробка експериментальних даних

В основу обробки експериментальних даних покладено елементи математичної статистики та регресивного аналізу.

Обробка експериментальних даних в теорії планування експерименту в значній мірі формалізована і виконується за допомогою ЕОМ. Обробка ділиться на окремі етапи, що вміщують операції умовного переходу у вигляді допуску до наступного при виконанні деякої умови. Якщо умова не виконується, то обчислення закінчують і виконують необхідні зміни в плануванні експерименту. Характер зміни і напрямок подальших дій визначає експериментатор. Розглянемо етапи і можливі варіанти неформалізованих рішень.

Для виключення явно аномальних, грубих похибок, котрі можуть значно спотворити результати. Для перевірки однорідності значень відгуку користуються критерієм Ст’юдента

, (4.18)

де – найбільше або найменше значення відгуку в u -ім рядку, яке можна вважати хибним: – середнє значення відгуку в тім же рядка без урахування .

, (4.19)

де n – число паралельних дослідів; S_u – оцінка середнього квадратичного відхилення.

Оцінка середнього квадратичного відхилення визначається за такою формулою:

, (4.20)

де – оцінка дисперсії в (u -ій точці плану без урахування сумнівного результату .

За числом ступенів свободи f та заданому рівні значущості a із таблиці розподілу Ст’юдента находять величину критерію t_т. Ступінь свободи визначають за формулою

. (4.21)

Рівень значущості в технічних експериментах як правило задають величиною 0,05, тобто a = 0,05.

Якщо розрахована величина критерію t_р буде більшою за табличну t_т, (t_р > t_т) то з надійністю Р = 0,95 можна стверджувати, що – груба похибка. У випадку, коли t_р < t_т результат узгоджується з даними u -го рядка і залишається для подальшої обробки. При плануванні експерименту бажано, щоб число дослідів у всіх рядках було однаковим.

Середні значення відгуку в окремих точках факторного простору розраховуються після перевірки однорідності вимірів. У всіх точках плану розраховуються середні значення і заносяться в останню колонку.

Серед всіх значень одне може бути найменшим – , одне найбільшим . Прийнято вважати, що експеримент містить дуже мало інформації про об’єкт дослідження, якщо різниця – статистично незначна.

Значущість різниці середніх також перевіряється за критерієм Ст’юдента. Розрахункове значення критерію визначається за формулою

, (4.22)

де S_y – оцінка дисперсії відтворення, n _max, n _min – число паралельних дослідів в рядках відповідно і .

Дисперсією відтворення , або дисперсією дослідів називається величина, що визначається за формулою

, (4.23)

де – дисперсія в u -ім рядку, N – число рядків.

Із формули видно, що дисперсія відтворення є середин; арифметичне дисперсій в рядку, яке в свою чергу визначається за формулою

, (4.24)

Посилаючись на викладене маємо

. (4.25)

Табличне значення критерію Ст’юдента визначають за рівнем значущості a = 0,05, та числом ступенів свободи

.

Якщо t_р < t_т, середні величини відрізняються статистично незначно. В подібному випадку експериментальні дані неможливо признати задовільними і необхідно виконати такий експеримент, в якому б величини відгуку в окремих точках відзначались більш суттєво. Це можливо отримати зміною масштабів змінних величин, або перенесенням області експерименту в інший простір досліджень.

Однорідність дисперсій при однаковій кількості дослідів в кожнім рядку перевіряється за критерієм Кохрена:

. (4.26)

Величина G_P зв’язана з числом ступенів свободи f

За рівнем значущості a = 0,05 і числом ступенів свободи знаходять табличне значення критерію G_T. Якщо виконується нерівність

,

приймається гіпотеза про однорідність дисперсій. Якщо

то гіпотеза про однорідність відхиляється. Тоді необхідно приймати неформалізоване рішення.

Коефіцієнти рівняння регресії в загальному вигляді визначаються за формулою

, (4.27)

де x_iu виражено в кодованих величинах (+1, -1). При обчисленні коефіцієнта b ₀ всі x_iu беруться додатними.

Статистична значимість коефіцієнтів регресії перевіряється за критерієм Ст’юдента, розрахункове значення якого

, (4.28)

де – дисперсія і -го коефіцієнта регресії.

. (4.29)

Тоді

. (4.30)

Одержана рівність підтверджує дуже важливу властивість багатофакторного експерименту: похибка коефіцієнтів регресії стала і в разів менше похибки дослідів. Це означає, що із збільшенням кількості факторів зменшується похибка і відповідно збільшується точність опису об’єкту рівнянням регресії.

Згідно з числом ступенів свободи дисперсії

і рівню значущості a = 0,05 знаходимо табличне значення критерію t_т. При t_р < t_т приймають гіпотезу про рівність нулю коефіцієнта, а відповідний член регресії потрібно виключити з рівняння. Проте інколи таке твердження може бути помилковим із-за малого інтервалу варіювання.

Після перевірки значущості коефіцієнтів рівняння регресії має вигляд:

На завершення необхідно перевірити адекватність моделі. Для цього порівнюють дисперсії адекватності і відтворення. Під дисперсією адекватності розуміють характеристику розкиду середніх значень відносно поверхні відгуку, передбаченого рівнянням регресії:

, (4.31)

де l – число значимих коефіцієнтів в рівнянні регресії, – значення відгуку в u -ій точці плану, розраховане за рівнянням регресії.

Адекватність визначається за критерієм Фішера

(4.32)

і порівнюється із величиною визначеною по таблиці згідно заданого рівня значущості (a = 0,05) та двох числах ступенів свободи

Умовою адекватності являється виконання нерівності

.

Аналізом адекватності моделі за певними статистичними матеріалами закінчується дослідження об’єкта.

Дата добавления: 2017-02-01