Короткі теоретичні відомості

Відведений час: 6 год.

Аналіз розв’язків лінійних оптимізаційних моделей

Мета: формувати у студенів уміння будувати двоїсті ЗЛП та давати економічне тлумачення отриманим розв’язкам.

Завдання для практичного заняття:

1. Пригадайте основні теоретичні питання теми.

2. Орієнтовні запитання та завдання:

- сформулюйте теореми двоїстості;

- дайте економічне тлумачення теоремам двоїстості.

3. Виконайте індивідуальне завдання.

Теорія двоїстості в лінійному програмуванні будується на двох наступних теоремах.

Теорема 1. Якщо одна з задач лінійного програмування має скінченне оптимальне значення, то і двоїста до неї задача теж має скінченне оптимальне значення, причому оптимальні значення лінійних форм обох задач співпадають, тобто або . Якщо лінійна форма однієї з задач необмежена, то система обмежень іншої задачі несумісна.

Теорема 2. Компоненти оптимального розв’язку однієї з задач (прямої або двоїстої) рівні абсолютним величинам коефіцієнтів при відповідних змінних у виразі лінійної форми другої задачі (двоїстої або прямої) при досягненні нею оптимального значення і при умові, що отриманий оптимальний розв’язок не є виродженим.

З теорем 1 і 2 слідує, що якщо розв’язати одну з взаємно двоїстих задач, тобто знайти її оптимальний розв’язок і оптимальне значення лінійної форми, то можна записати оптимальний розв’язок і оптимальне значення лінійної форми іншої задачі.

Економічна інтерпретація двоїстої задачі.

Нехай задана математична модель вихідної задачі:

;

;

.

Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції , який дає найбільший дохід.

Двоїста задача до поставленої прямої буде така:

;

.

Економічний зміст двоїстої задачі полягає ось у тому, щоб визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів у_і, що використані для виробництва продукції, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. Двоїсті змінні також називають тіньовою ціною відповідного ресурсу.

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі:

- якщо двоїста оцінка у_і в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і -й ресурс є недефіцитним;

- якщо двоїста оцінка у_і > 0, то і -й ресурс є дефіцитним (величина двоїстої оцінки показує, на скільки збільшиться значення цільової функції, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю).

Аналіз рентабельності продукції: треба двоїсті змінні підставити у двоїсту систему обмежень і якщо ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі перевищує праву, то виготовляти продукцію не вигідно, вона нерентабельна і якщо ліва і права частини рівні одна одній, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна.

Дата добавления: 2017-02-01