Контрольная работа № 8

Контрольная работа № 7

Для ЗРТ, ЗРГЭ

Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.

Москва,

2006 г.

Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»

Краткие теоретические сведения.

1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример, ,

; ; ;

; . .

1. Градиент скалярного поля – вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.

Задания к контрольной работе № 7

Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.

№ вар-та	Задания
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .
	1) ; 2) .

Тема: «Дифференциальные уравнения»

Краткая теория и методические указания для решения:

1. Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

1.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

1.2 Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1). Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1). Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

2. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка

Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.

Дата добавления: 2017-02-01