Примеры решения контрольных заданий

Задание 1. В урне находится белых и черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.

Решение: Событие А – два шара разных цветов. Оно является суммой двух событий . Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – белый; – второй шар – черный. Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – черный; – второй шар – белый.

а) Первый вынутый шар возвращают в урну. При этом события и , а аналогично и являются независимыми (по 1.4). ; .

Найдем вероятность события . Для него опыт – извлечение одного шара из урны. Общее число исходов опыта равно общему числу шаров . Число исходов опыта, благоприятных для события равно числу белых шаров . (по 1.2). Так как вынутый шар возвращают в урну, то рассуждая аналогично, получим ; ; . По формуле (1.10) ; . События и , очевидно, несовместные (см. 1.3). По формуле (1.9) ; .

б) Первый шар после извлечения не возвращают в урну. При этом события и , а также и являются зависимыми (см. 1.4). По (1.12) ; . Вычислим условную вероятность события при условии, что произошло событие и шар не вернули в урну. Осталось в урне шаров, в том числе черных. . Аналогично рассуждая, получим . ; (по 1.12). События и – несовместные .

Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.

Решение: Надо найти вероятность события А – взятая из второго ящика деталь – стандартная. Опыт здесь производится при условии двух гипотез:

– из первого ящика сначала взяли и перенесли во второй стандартную деталь.

– из первого ящика взяли и перенесли во второй нестандартную деталь.

Будем пользоваться формулой полной вероятности . Найдем вероятности и . Общее количество элементарных исходов опыта для (а также для ) . Количество исходов опыта, благоприятных для равно числу стандартных деталей , а для равно числу нестандартных деталей . ; ; . При выполнении гипотезы , во втором ящике станет деталей, из них стандартных. . При выполнении гипотезы во втором ящике станет деталей, в том числе стандартных. . По (1.13) .

Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

	-2	-1
	0,15	0,2	0,4	0,25

Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Решение: Найдём функцию распределения . (по 2.3.2). Рассмотрим в интервалах между значениями .

по (2.2.1) = .

Математическое ожидание по (3.1).

; .

Дисперсия по (3.2)

.

Среднее квадратическое отклонение (по 3.3)

.

Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей. . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Решение: Найдем число по (2.4.3) ; ; . Найдем по (2.4.2) . Рассмотрим при значениях х на данных интервалах

.

.

.

Графики

Математическое ожидание по (3.1)

. .

Дисперсия по (3.2) .

Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .

Решение: Вероятность попадания случайной величины (см. 4.5) . Значение и находится по таблице функции Лапласа из приложения I. Схематический график – колоколообразная кривая (см. 4.1) . . Точка перегиба ; . . .

f(x)

Варианты контрольной работы № 10

Контрольная № 10 содержит 5 заданий.

Задание 1. В урне находится а белых и b черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.

Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. Найти вероятность, что эта деталь – стандартная.

Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

	-1

Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .

Варианты значений параметров контрольных заданий

№ вар. Значение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,2	0,15	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2	0,1	0,2	0,1
	0,3	0,25	0,4	0,4	0,4	0,3	0,3	0,25	0,3	0,5
	0,3	0,3	0,3	0,15	0,1	0,4	0,4	0,3	0,4	0,3
	0,2	0,3	0,2	0,25	0,2	0,2	0,1	0,35	0,1	0,1
	-0,5	-0,2	-0,8	-0,3	-0,4	0,2	0,1	-0,1	0,2	-0,1
	0,4	1,2	1,8	0,7	1,2	1,2	1,5	0,5	1,3	1,1
				1/2	1/4	1/3	1/5	2/5	3/4	2/3

Литература

1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.
3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.
4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. 1977-2006 гг.
8. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.

Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).

Дата добавления: 2017-02-01