Однофакторная линейная модель

Корреляционного и регрессионного анализа.

Статистическое моделирование связи методом

В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвя­зей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления

и силы связи, но и в определении формы (аналитического выраже­ния) влияния факторных признаков на результативный. Для ее решения применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тес­ноты связи между варьирующими признаками, определению неизвест­ных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых перемен­ных на зависимую и определение расчетных значений зависимой пе­ременной (функции регрессии).

По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов).

Наиболее разработанной в теории статистики является методоло­гия так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние ва­риации факторного признака х на результативный признак у и пред­ставляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравне­ния регрессии) является установление в анализе исходной информа­ции математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других вы­ражает реально существующие связи между анализируемыми призна­ками. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опыт предыдущих аналогичных исследований или осуществляться эмпирически - перебором и оценкой функций раз­ных типов и т.п.

При изучении связи экономических показателей производства (де­ятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

, (8.1)

где - теоретические значения результативного признака, получен­ные по уравнению регрессии;

- коэффициенты (параметры) уравнения регрессии

Поскольку а₀ является средним значением у в точке х=0, экономи­ческая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии а, имеет смысл показа­теля силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Уравнение (8.1) показывает среднее зна­чение изменения результативного признака у при изменении фактор­ного признаках на одну единицу его измерения, т.е. вариацию у, при­ходящуюся на единицу вариации х. Знак а, указывает направление это­го изменения.

Параметры уравнения а₀, а_{ находят методом наименьших квадра­тов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве реше­ния принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), т.е. в основу этого метода положено требование минимальности сумм квад­ратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных :

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется

системой нормальных уравнений:

; (8.2)

.

Определив значения и подставив их в уравнение связи находим значения , зависящие только от заданного значения х.

Для оценки тесноты связи при линейной форме уравнения приме­няется такой показатель как линейный коэффициент корреляции. Он был предложен английским математиком К.Пирсоном и рассчитывает­ся по формуле:

, (8.3)

где п - число наблюдений.

Для практических вычислений при малом числе наблюдений линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

. (8.4)

Значение линейного коэффициента корреляции важно для иссле­дования социально-экономических явлений и процессов, распределе­ние которых близко к нормальному. Он принимает значения в интерва­ле: -1

Отрицательные значения указывают на обратную связь, Положитель­ные - на прямую. При линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем тес­нее связь между признаками. И, наконец, при = ±1 связь - функцио­нальная.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется линей­ным коэффициентом детерминации. Из определения коэффици­ента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда зак­лючено в пределах от 0 до 1, т.е. .

Дата добавления: 2017-02-01