Аналитическое и численное решение дифференциальных уравнений.

Введение

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к лабораторным работам

Санкт–Петербург

Одним из важных разделов дисциплины «Проектирование оптимальных систем управления» является выбор математического метода решения задачи оптимизации и соответствующего программного обеспечения.

Настоящий лабораторный практикум предназначен для формирования у студентов навыков решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Поскольку в соответствии с принципом максимума оптимальное управляющее воздействие рассматривается как решение некоторой системы дифференциальных уравнений, то одной из задач практикума является напомнить студентам основные положения теории таких уравнений. Рассмотренные в практикуме примеры решения дифференциальных уравнений выполнены с применением метода преобразования Лапласа. По нашему мнению этот метод решения дифференциальных уравнений имеет некоторые преимущества перед классическим методом. Во-первых, метод преобразования Лапласа оперирует понятиями начальных условий, которые определены и в связи с принципом максимума. Понятие начальных условий имеет гораздо больше физических аналогий, чем постоянные интегрирования в классическом методе. Кроме того метод преобразования Лапласа тесно связан с такими, часто используемыми в теории автоматического управления понятиями как передаточные функции и частотные характеристики.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений, возникающих при решении задач оптимального управления на основе принципа максимума, как правило, связано со значительными трудностями. Причинами являются сложность практически важных моделей объектов управления и необходимость удвоения порядка рассматриваемых уравнений (по сравнению с порядком объекта управления) за счет необходимости учета сопряженных переменных. Практические результаты, как правило, получаются путем применения численных методов.

Основная задача, решаемая численными методами, заключается в поиске начальных условий для системы сопряженных уравнений. Кроме того, в процессе поиска возникает необходимость решения системы дифференциальных уравнений для определения конечного состояния объекта управления, соответствующего пробным значениям начальных условий для системы сопряженных уравнений.

Следовательно, решение задачи оптимального управления подразумевает знакомство студентов с методами поиска и численными методами решения дифференциальных уравнений. В связи с этим задания на лабораторные работы составлено таким образом, чтобы студенты смогли проявить навыки применения численных методов поиска и решения дифференциальных уравнений при решении конкретных задач оптимизации. Кроме того, предусмотрены лабораторные работы, направленные на изучение собственно методов поиска и методов численного решения дифференциальных уравнений.

Рассмотренные в методических указаниях примеры ориентируют студентов на использование упомянутых ранее численных методов, реализованных в среде математического пакета программ MATLAB.

Дата добавления: 2017-02-01