Аналитическое решение дифференциального уравнения 1 порядка методом преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа функции времени , называется функция комплексной переменной , такая что:

(1.1)

Удобство использования этого преобразования для решения дифференциальных уравнений заключается в том, что после преобразования по Лапласу дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Причиной описанного изменения свойств дифференциальных уравнений при использовании преобразования Лапласа являются следующие следствия (1.1):

(1.2)

Таким образом, процесс решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа заключается в выполнении следующих шагов:

- преобразование исходного дифференциального уравнения в алгебраическое;

- нахождение решения алгебраического уравнения;

- определение решения дифференциального уравнения с помощью обратного преобразования Лапласа, применяемого к полученному ранее решению алгебраического уравнения.

Под обратным преобразованием Лапласа понимается следующее соотношение:

(1.3)

При выполнении практических расчетов, требующих решения дифференциальных уравнений, используются таблицы преобразования Лапласа, которые позволяют выполнять операции прямого и обратного преобразований без выполнения операций интегрирования, предусмотренными выражениями (1.1) и (1.3)

Для примера рассмотрим решение следующего дифференциального уравнения первого порядка:

После преобразования по Лапласу в соответствии с (1.2) получаем следующее алгебраическое уравнение:

(1.4)

Очевидно, что решением (1.4) является выражение (1.5)

(1.5)

Для получения оригинала может быть использовано Следующее табличное соотношение:

После применения табличного соотношения к нашему случаю получаем искомое решение дифференциального уравнения:

Дата добавления: 2017-02-01