Вычисление определенного интеграла

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a,b ]. Тогда она интегрируема как на отрезке [ a,b ], так и на любом меньшем отрезке [ а,х ], где [ a,b ]. Значит, величина

является функцией от х. Она называется интегралом с переменным верхним пределом и является первообразной для функции f(x). Другими словами, функция Ф(х) в каждой своей точке имеет производную, равную f(x):

.

Теперь перейдем к вопросу вычисления определенного интеграла.

Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [ a,b ] и F(х) является первообразной для функции f(x). Тогда

.

(Эта основная формула интегрального исчисления называется формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет сводить вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной.)

Док-во. Пусть функция y=f(x) имеет некоторую первообразную F(x). Тогда F(x)=Ф(x)+C, где - другая первообразная f(x). Имеем:

.▲

Пример.

1-6+9-27+54-27=4.

Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ], а функция x=φ(t) определена на отрезке [ α,β ] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем φ(α)=a, φ(β)=b и φ([α,β])=[a,b]. Тогда

.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда и . Тогда

.▲

Пример. Найти

.

Применим подстановку . Найдем новые пределы интегрирования: при ; при .

.

Дата добавления: 2014-01-03