Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление определенного интеграла





 

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема как на отрезке [a,b], так и на любом меньшем отрезке [а,х], где [a,b]. Значит, величина

является функцией от х. Она называется интегралом с переменным верхним пределом и является первообразной для функции f(x). Другими словами, функция Ф(х) в каждой своей точке имеет производную, равную f(x):

.

 

Теперь перейдем к вопросу вычисления определенного интеграла.

Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(х) является первообразной для функции f(x). Тогда

.

(Эта основная формула интегрального исчисления называется формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет сводить вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной.)

Док-во. Пусть функция y=f(x) имеет некоторую первообразную F(x). Тогда F(x)=Ф(x)+C, где - другая первообразная f(x). Имеем:

.▲

Пример.

1-6+9-27+54-27=4.

 

Замена переменной в определенном интеграле.

 

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x=φ(t) определена на отрезке [α,β] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем φ(α)=a, φ(β)=b и φ([α,β])=[a,b]. Тогда

.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда и . Тогда

.▲

 

Пример. Найти

.

Применим подстановку . Найдем новые пределы интегрирования: при ; при .

.

 

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 156; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.