Векторы матрицы

Собственные числа и собственные

Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x₁, x₂,..., x_n)^T называется собственным вектором линейного преобразования

(квадратной матрицы A), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство

AX = λ X.

Число λ называется собственным значением линейного преобразовани я ( матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = λ X в виде (A - λ E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a₁₁ - λ)x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n =0,

a₂₁x₁ + (a₂₂ - λ)x₂ +... + a_2nx_n = 0,

(9.2)

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + (a_nn- λ)x_n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен

Для заметок

называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - λ E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (8.2) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.

Дата добавления: 2014-01-04