Центральные композиционные планы

Один из распространенных подходов при построении плана второго порядка состоит в использовании результатов планирования на последнем шаге, перед использованием метода крутого восхождения. Напомним, что на этом шаге определяются коэффициенты линейной модели, которые используются для определения составляющих вектора градиента. Известно, что метод крутого восхождения – это последний этап поиска экстремума, т.е. центр эксперимента здесь весьма близок к экстремуму. Естественно использовать план, который дает возможность получить наилучшую линейную модель, для уточнения самой модели.

Новый план, который является планом второго порядка, образуется достраиванием плана факторного эксперимента некоторым дополнительным планом. Вместе эти плана создают композицию (объединение), поэтому построенный таким образом план называется композиционным.

Рассмотрим построение композиционного плана для случая, когда число факторов равно 2. Как было показано ранее, для поиска экстремума в данном случае используется модель вида:

Для определения оценок коэффициентов данной модели может быть использован полный факторный эксперимент 2².

Точки опытов такого эксперимента показаны на рисунке (они выделены точками):

Далее, для уточнения модели, воспользуемся полиномом второго порядка:

Коэффициент парного взаимодействия данной модели получается из ПФЭ. Для оценки коэффициентов при квадратах факторов достроим план пятью точками: одна из них – центр эксперимента (на рисунке – зачерненный квадрат), где факторы равны 0, четыре – обозначены звездочками (это так называемые «звездные» точки). Значения факторов в звездных точках равны ±a₁, ±a₂.

В случае трех факторов основой композиционного плана может служить либо ПФЭ 2³, либо его ½-реплика 2^3-1. Порядок построения такого плана показан на рисунке:

Как видим, факторы в таких планах варьируются не на трех, а на пяти уровнях: -a_i, -1, 0, +1, +a_i.

Однако общее количество опытов в данном случае существенно меньше, чем при построении плана с варьированием факторов на трех уровнях. В случае трех уровней количество опытов 3²=9 для двух факторов и 3³=27 для трех факторов. А в случае построения композиционного плана опытов 9 для двух факторов и 15 для трех факторов. Т.е. с ростом числа факторов обеспечивается существенная экономия количества опытов. Поскольку в композиционном плане его точки расположены симметрично относительно центра, план называется центральным композиционным планом.

Отметим, что дробная реплика как основа центрального композиционного плана должна удовлетворять некоторому требованию. Иначе план не позволит определить несмешанные оценки коэффициентов при квадратах факторов. Это требование формулируется следующим образом: дробная реплика типа 2k-p может быть ядром центрального композиционного плана только в том случае, если два любых парных взаимодействия по модулю не равны между собой.

В противном случае построенный план не позволит получить коэффициента модели второго порядка.

Одним из наиболее распространенных центральных композиционных планов является план Бокса.

Дата добавления: 2014-01-04