Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Означення. Нехай функція f (x) визначена в деякому проколеному околі точки x ₀. Число a називається границею функції f (x) у точці x ₀, якщо для будь-якого додатного числа існує таке додатне число (залежне від ), що для всіх значень x із проколеного –околу точки x ₀ відповідні значення f (x) належать до –околу точки a (див. рис. 4.2). Це можна коротко записати так:

,

або .

Рис. 4.2.

Зауваження. Згідно з означенням у самій точці x ₀ функція f (x) може бути не визначена.

Те, що функція f (x) має в точці x ₀ границю a,позначається так:

f (x) = a.

Читається: границя f (x) в точці x ₀ дорівнює a. Позначення походить від латинського limes (границя). Іноді пишуть також:

f (x) ® a при x ® x ₀

(f (x) прямує до границі a при x, що прямує до x ₀).

Означення. Нехай функція f (x) визначена при всіх х, що задовольняють нерівність | x | > K при K > 0. Число a називається границею функції f (x) на нескінченності, якщо для будь-якого існує таке число (залежне від ), що | f (x) – a |< e для всіх значень x, які задовольняють нерівність | x | > M. Коротко це записують так:

.

В цьому разі пишуть: f (x) = a або f (x) ® a при x ®¥.

Іноді виникає потреба розглядати лише додатні або лише від’ємні значення x. Для цього запровадимо односторонні границі функції на нескінченності, а саме

Означення. Нехай функція f (x) визначена при всіх х, що задовольняють нерівність x > K (x < – K) при K > 0. Число a називається границею функції f (x) на плюс нескінченності (мінус нескінченності), якщо для будь-якого існує таке число (залежне від ), що | f (x) – a |< e для всіх значень x, які задовольняють нерівність x > M (x < – M).

В цьому разі пишуть: f (x) = a (f (x) = a).

Означення. Функція f (x) називається нескінченно малою в точці x ₀, якщо f (x) = 0.

Теорема (про зв'язок нескінченно малих з границею). Для того, щоб f (x) = a, необхідно і достатньо, щоб функція g (x) = f (x) – a була нескінченно малою в точці x ₀ (тобто щоб функція f (x) була зображувана у вигляді f (x) = g (x) + a, де g (x) нескінченно мала в точці x ₀).

Необхідність. Дано, що f (x) = a. Тоді для будь-якого числа існує таке число , що для всіх значень x, для яких виконується нерівність | x – x ₀| < d, виконується також нерівність | f (x) – a | < e. Оскільки g (x) = f (x) – a, то останню нерівність можна записати як | g (x)| = | g (x) – 0| < e, а це і означає, що g (x) = 0.

Достатність. Дано, що f (x) = g (x) + a, де g (x) нескінченно мала в точці x ₀. Тоді для будь-якого числа існує таке число , що для всіх значень x, для яких виконується нерівність | x – x ₀| < d, виконується також нерівність | g (x)| = | f (x) – a | < e, а це означає, що f (x) = a.

Теорема (про добуток нескінченно малої функції на обмежену). Якщо функція u (x) обмежена в деякому околі , а функція g (x) – нескінченно мала в точці x ₀, то функція f (x) = u (x)× g (x) нескінченно мала в точці x ₀.

Доведення. Обмеженість u (x) означає, що знайдеться таке число М, що для всіх | u (x)| £ M.

Функція g (x) нескінченно мала в точці x ₀, тобто f (x) = 0. Це означає, що . Нехай - переріз множин та . Тоді для заданого , а це означає, що f (x) = 0, тобто f (x) = u (x)× g (x) нескінченно мала в точці x ₀.

Приклад. Функція f (x) = нескінченно мала в точці х = 0, бо x = 0, а для всіх х ≠ 0, тобто це обмежена функція.

Означення. Функція f (x) називається нескінченно великою в точці x ₀, якщо для будь-якого числа М існує таке додатне число (залежне від М), що для всіх значень x із проколеного –околу точки x ₀ вірна нерівність | f (x)| > M, або коротко .

Це записується так:

f (x) = ¥.

При цьому слід мати на увазі, що нескінченно велика функція границі не має (символ ¥ не є числом).

Теорема (про зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями). Якщо функція f (x) нескінченно мала в точці x ₀, то функція нескінченно велика в цій точці, і навпаки.

Дата добавления: 2014-01-04