Еквівалентні функції

Означення. Функції f (x) і g (x) називають еквівалентними у точці x ₀ (або еквівалентними на нескінченності) і пишуть f (x) ~ g (x), x ® x ₀ (x ® ¥), якщо

. (4.2)

Приклад. Доведемо, що многочлен еквівалентний на нескінченності своєму доданку, що містить найвищий степінь х:

~ при x ® ¥. (4.3)

Розглянемо границю

= ====1 + + … + + .

Функції виду , a > 0, є нескінченно великими при x ® ¥, отже функції є нескінченно малими і . Таким чином,

= 1,

і згідно з означенням еквівалентних функцій (4.2) ~ при x ® ¥.

Теорема (властивість еквівалентних функцій). Якщо f (x) і g (x) – еквівалентні функції в точці x ₀, то

(f (x)× h (x)) = (g (x)× h (x)) і = , (4.4)

якщо існує границя в одній з частин рівності.

Доведення. Нехай, наприклад, існують границі в правих частинах рівностей (4.4). Тоді

(f (x)× h (x)) = = · (g (x)× h (x)) = =1· (g (x)× h (x));

= = · =1· .

Цілком аналогічно проходить доведення для випадку, коли існують границі в лівих частинах рівностей (4.4).

Приклад. Знайти границі

а) ;

б) ;

в) .

Розв'язання. При розв’язанні цих прикладів ми не можемо скористатись властивістю границь 4 в), тому що і чисельник, і знаменник дробів є нескінченно великими функціями, тобто не мають границі. В такому випадку говорять, що це невизначеність виду . Скористаємось рівностями (4.4) та еквівалентністю (4.3). Замінимо чисельник та знаменник кожного дробу на еквівалентну функцію:

а) = = ;

б) = = , бо функція є нескінченно великою при x ® ¥;

в) = = = 0, оскільки функція є нескінченно малою при x ® ¥.

Дата добавления: 2014-01-04