Рівняння поверхні у декартових координатах. Рівняння лінії в просторі

Нехай у просторі задано деяку поверхню (S) і прямокутну декартову систему координат О xyz.

Означення. Рівняння

(3.6)

називається рівнянням поверхні (S) у заданій системі координат, якщо його задовольняють координати будь-якої точки поверхні (S) і не задовольняють координати ніякої точки, яка не лежить на цій поверхні.

Таким чином ми розглядаємо поверхню (S) як множину точок простору, координати яких задовольняють рівняння (3.6), і кажемо, що це рівняння визначає поверхню (S).

Наприклад, рівняння

(3.7)

визначає сферу радіуса R з центром у точці С (а, b, c) (рис. 3.3).

Справді, точка М (x, y, z) належить до цієї сфери тоді і тільки тоді, якщо , тобто

, що еквівалентно

.

Означення. Поверхня, визначена рівнянням (3.6), називається алгебраїчною, якщо є многочлен від . Степінь цього многочлена називають порядком алгебраїчної поверхні.

Наприклад, сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку, як це випливає з її рівняння (3.7).

Усяка неалгебраїчна поверхня називається трансцендентною.

Лінію в просторі можна визначити як лінію перетину двох поверхонь, тобто як множину точок простору, які лежать і на одній і на другій поверхні. Координати таких точок задовольняють одночасно рівняння обох поверхонь. Якщо і – рівняння цих поверхонь в одній і тій же системі координат, то рівняння

(3.8)

є рівняннями даної лінії.

Наприклад, рівняння

(3.9)

визначають лінію перетину сфери і площини , тобто коло з центром на осі О z, площина якого перпендикулярна до цієї осі і відтинає від неї відрізок, рівний 3 (рис. 3.4).

Зазначимо, що рівняння будь-якої лінії можна подати безліччю способів: замість двох даних поверхонь можна взяти будь-яку іншу пару поверхонь, що перетинаються по цій лінії, тобто замість системи (3.8) взяти будь-яку іншу систему, еквівалентну їй. Інший підхід до визначення лінії в просторі ґрунтується на розгляді лінії як траєкторії точки, що рухається в просторі за певним законом руху. Цей підхід приводить до визначення поточних координат точки лінії як функцій допоміжної змінної – параметра t:

(3.10)

Рівняння (3.10) називають параметричними рівняннями лінії.

Наприклад, коло, задане рівняннями (3.9), можна задати параметричними рівняннями:

(3.11)

Справді, підставляючи ці вирази у систему (3.9), бачимо, що при будь-якому t координати точки, визначені формулами (3.11), задовольняють рівняння системи (3.9):

Дата добавления: 2014-01-04