Різні форми рівняння площини

Площина як алгебраїчна поверхня першого порядку.

Найбільш загальне рівняння алгебраїчної поверхні першого порядку має вигляд

, (3.12)

де А, В, С, D – числа, при чому хоча б одне з чисел А, В, С, не дорівнює нулю.

M

Покажемо, що алгебраїчні поверхні першого порядку є площини і тільки площини.

O

Нехай (Р) – довільна площина (рис. 3.5). Візьмемо яку-небудь точку на площині (Р) і який-небудь ненульовий вектор , перпендикулярний до площини. Такий вектор називається нормальним вектором площини (Р). Будь-яка точка лежить на площині (Р) тоді і тільки тоді, коли вектор і ортогональні, тобто · = 0. Виражаючи скалярний добуток через координати векторів і , одержимо рівняння площини (Р) у вигляді

. (3.13)

Це рівняння називають рівнянням площини за точкою і нормальним вектором.

Розкриємо дужки:

і позначимо . Одержимо рівняння вигляду (3.12):

.

Таким чином, будь-яка площина є алгебраїчною поверхнею першого порядку, а коефіцієнти А, В, С у рівнянні (3.12) є координатами нормального вектора площини.

В свою чергу легко показати, що будь-яке рівняння (3.12) є рівнянням площини. Нехай – яка-небудь трійка чисел, що задовольняє рівняння (3.12), тобто – вірна рівність. Віднімемо почленно цю рівність від (3.12) і одержимо рівняння, еквівалентне (3.13)

,

тобто рівняння площини, яка проходить через точку і має нормальний вектор . Тому рівняння (3.12) називають загальним рівнянням площини.

В деяких задачах виникає потреба знайти рівняння площини, яка проходить через три задані точки. Нехай точки , і не лежать на одній прямій (рис.3.6). Тоді вектори і лежать у площині (Р) = (М ₀ М ₁ М ₂) і не колінеарні. Будь-яка точка простору належить до площини (Р) тоді і тільки тоді, коли вектори , , компланарні. А для компланарності трьох векторів необхідно і достатньо (п.2.8, формула (2.25)), щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю:

(;;) = 0.

Визначивши мішаний добуток через координати векторів, одержимо рівняння площини за трьома точками:

. (3.14)

Розкриваючи цей визначник за елементами першого рядка, одержимо рівняння площини у формі (3.13).

Приклад 1. Точка є проекцією точки на площину (Р). Написати рівняння цієї площини.

Розв’язання. За умовою задачі точка лежить на площині (Р), а вектор перпендикулярний до цієї площини, тобто є нормальним вектором площини (Р): . Значить рівняння площини (Р) можна написати як рівняння площини за точкою і нормальним вектором (3.13):

.

Розкриваючи дужки, отримуємо:

.

Приклад 2. Знайти площину, яка проходить через точку і паралельна площині (Р): .

Розв’язання. Шукана площина (Р ₁) проходить через точку і паралельна до площини (Р ₁), значить її нормальний вектор колінеарний нормальному вектору площини (Р). Можемо взяти

.

Тоді рівняння шуканої площини (Р ₁) запишеться як рівняння площини за точкою і нормальним вектором (3.13):

, або

.

Приклад 3. Написати рівняння площини (Р), яка проходить через точку і перпендикулярна до площин

і

Розв’язання. Шукана площина (Р) перпендикулярна до площин (Р ₁) і (Р ₂), значить її нормальний вектор повинен бути ортогональним до кожного з нормальних векторів цих площин: і , де , .

Цій умові відповідає векторний добуток , отже можемо взяти

Тоді за формулою (3.13):

, або

.

Приклад 4. Написати рівняння площини (Р), яка проходить через точки , , .

Розв’язання. Знайдемо рівняння площини (Р) як рівняння площини за трьома точками (3.14):

.

Розкриваємо визначник за елементами першого рядка:

, або

.

Дата добавления: 2014-01-04