Получение решения в виде системы дифференциальных уравнений

Для начала выразим через . Для этого найдем вероятность события - того, что восстановление системы произойдет в промежутке [t,t+dt]. Как было замечено выше, . С другой стороны, событие произойдет, если произойдут два события:

• - произойдет отказ восстанавливаемой системы в момент времени ;
• - произойдет восстановление системы за время

Вероятности этих событий равны: ; . Оба эти события независимы (длительность восстановления никак не зависит от того, в какой момент времени произошел отказ), поэтому вероятность их совместного появления равна .

Здесь стоит отметить, что к событию будут приводить события при любых . Поэтому событие можно представить как бесконечную сумму множества событий при разных :

Для двух разных события несовместны, поэтому вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий . Суммирование производится по параметру , причем здесь мы имеем бесконечную сумму бесконечно малых величин, поэтому вместо знака суммы мы должны использовать знак интеграла. В итоге получаем:

Разделим обе части уравнения на dt и получим окончательный ответ:

Полученные интеграл является ни чем иным, как сверткой функций и . Тогда мы можем записать более кратко:

Следуя той же самой логике найдем пути и вероятности возникновения события - отказа восстанавливаемой системы в промежуток времени [t,t+dt]. Это событие возможно в следующих случаях:

• система ни отказывала после начала работы и отказала в момент t:
• система восстановилась в момент , и отказала через время : . При этом нужно взять сумму всех таких возможных события для .

Суммируя оба случая получим:

Поскольку все события в сумме попарно несовместны, а события и независимы, находим вероятность:

И, наконец, выразим через . Событие с вероятностью произойдет если:

• система будет оставаться работоспособной с нулевого момента времени: событие с вероятностью ;
• система будет восстановлена в момент (событие с вероятностью ) и сохранит работоспособность в течение времени (событие с вероятностью ).

Суммируя получим:

В итоге мы получили общую систему интегральных уравнений

Вычислим производную для Г(t):

Т.е. скорость изменения функции готовности равна разнице между параметрами потоков восстановления и отказов. Учитывая, что Г(0)=1, т.к. в начальный момент времени система исправна, получим:

Дата добавления: 2014-01-03