Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття


Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [2], с. 26-29

Питання для самоконтролю

1. Поняття матриці.

2. Застосування матриці в економіці.

3. Дії з матрицями, властивості.

 


Л Е К Ц І Я 3

 

Тема: Власні числа і власні вектори матриці. Квадратичні форми

Мета: сформувати поняття лінійного оператора; ознайомити з власними числами і власними векторами матриці, квадратичними формами

Література: [1, с. 16-18]; [6, с. 47-57].

1. Лінійні оператори

2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).

3. Квадратичні форми

 

1. Розглянемо 2 векторних простори Rn та Rm .

Якщо заданий закон (правило), за яким кожному вектору простору Rn ставиться у відповідність вектор простору Rm, то говорять, що заданий оператор (перетворення, відображення), який переводить вектор з простору Rn в простір Rm.

- оператор

(з тільдою (волною))

- дія оператора над

Вектор називається прообразом вектору , а вектор – образом вектора .

Оператор називається лінійним, якщо він має такі властивості:

1) застосовується до суми векторів:

2) застосовується до добутку вектора на число:

- стале число.

Якщо простори Rn і Rm збігаються, то оператор відображає простір Rn сам в себе.

Кожному оператору в деякому базисі ставиться у відповідність квадратична матриця, за допомогою якої можна виконати перетворення

Введемо позначення у вигляді матриць:

,

Запишемо перетворення за допомогою оператора у матричній формі:


Приклад: Нехай в просторі R3 оператор , заданий матрицею і заданий в деякому базисі вектор , де 1 ,2 ,3 –базисні вектори. Потрібно знайти образ в цьому ж базисі.

Запишемо в матричній формі:

Х=

 

Тоді:

2. Нехай заданий лінійний оператор у вигляді квадратної матриці

А=

Ненульовий вектор називається власним вектором лінійного оператора , якщо знайдеться таке число , що . Число називається власним числом або власним значенням оператора , відповідним вектору .

З означення випливає, що власний вектор, під дією лінійного оператора переходе у вектор, колінеарний самому собі, тобто просто множиться на деяке число.

Поставимо задачу: для даного оператора знайти власні вектори і власні числа.

Запишемо в матричній формі рівність :

=

 


Це система лінійних однорідних рівнянь, яка завжди має нульовий розв’язок х123=0. Але ж вектор =(х1; х2; х3) ненульовий за умовою.

Нас цікавлять ненульові розв’язки системи, це значить , що головний визначник системи

- характеристичне рівняння оператора (або матриці А).

 

Розв’язавши рівняння, знайдемо , і, підставивши в систему, знайдемо координати власного вектора.



Приклад: знайти власні числа і власні вектори оператора , заданого матрицею А=

Запишемо систему:

Складемо характеристичне рівняння:

за т. Вієта

Одержали два власних значення, значить для даного оператора існує два власних вектора.

1) Для

ё множина розв’язків


2) Для

множина розв’язків

Зауваження: власні вектори і власні значення застосовуються для розв’язування економічних задач, зокрема в міжнародній торгівлі. За їх допомогою можна знайти національний прибуток кожної країни з врахуванням збалансованої торгівлі між країнами.

3. Квадратичною формою від n змінних називається сума, кожний член якої є квадратом однієї із змінних або добутком двох різних змінних з деяким коефіцієнтом.

Кожній квадратичній формі ставиться у відповідність квадратна матриця.

Дано: , де

Приклад: Для даної квадратичної форми - записати матрицю,

Коефіцієнти, симетричні відносно головної діагоналі, рівні між собою, така матриця називається симетричною.

Квадратична форма називається канонічною, якщо всі її коефіцієнти при дорівнюють 0.

Матриця в цьому випадку є діагональною.

Квадратичну форму можна привести до канонічного виду за допомогою власних значень матриці квадратичної форми.

Приклад: квадратичну форму привести до канонічного виду.

- власні числа матриці квадратичної форми


Характеристичне рівняння матриці:

гіпербола

 

 
 


Питання для самоконтролю

1. Лінійні оператори

2. Власні числа і власні вектори матриці (лінійного оператора).

3. Квадратичні форми


Л Е К Ц І Я 4

 

Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь

Мета: ознайомити з формулами Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь; провести дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь, навчити дослідженню студентів

Література: [1, с. 20-24]; [6, с. 72-77].

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
П Л А Н. 1. Конспект; підготовка до практичного заняття | П Л А Н. 2. Дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 251; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.