П Л А Н. 1. Різні види рівнянь прямої на площині

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 76-83

Питання для самоконтролю

1. Різні види рівнянь прямої на площині.

2. Кут між двома прямими.

3. Відстань від точки до прямої.

Л Е К Ц І Я 11

Тема: Площина та пряма в трьохвимірному просторі R³

Мета: ознайомити з рівнянням площини в R³, рівнянням прямої в R³ , розглянути взаємне розташування площин, прямих, прямої та площини.

Література: [1, с. 84-96]; [6, с. 167-179].

1. Рівняння площини в R³ .

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R³ .

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.

1. Рівняння площини в просторі містить змінні х, у та z в першому степені

Розглянемо, який вид має рівняння площини. Нехай М₁ (х₁; у₁; z₁) –фіксована точка площини, М (х; у; z) – довільна точка площини (змінна)

z

0 y

x

Заданий вектор = (А; В; С;)

= (А; В; С;) перпендикулярний площині. Він називається

нормальним вектором площини.

М (х; у; z)

М₁ (х₁; у₁; z₁)

(х-х₁; у-у₁; z-z₁)

Рівняння площини, яка проходить через задану т. М1

Загальне рівняння площини

- вільний член

Для того, щоб побудувати площину в системі координат, потрібно знайти точки перетину її з осями координат.

Приклад: Побудувати площину 3х-у+2z-6=0

Z 1) при х=0, у=0 2z=6

z=3

2) при х=0, z=0 3x=6

- 3 x=2

-6 - 0

| | | y 3) при x=0, z=0 –y=-6

2 y=-6

x

Дослідження загального рівняння площини.

z

1)

площина | | О_х 0 у

x

z

2)

площина | | О_y

0 y

x

3) z

площина | | О_z

0

y

x

4) z

площина проходить через початок координат

y

x

5)

площина проходить через вісь Ох

z

0 y

x

6)

площина проходить через вісь Оу

z

0 y

x

7)

площина проходить через вісь Оz

z

y

8) x

9)

Рівняння площини у відрізках на осях.

-відрізки, які відтинає площина на осях Ох, Оу, Оz відповідно

z

с

у

х

₁=(А₁; В₁; С₁)

1) Площини можуть бути паралельними.

₂=(А₂; В₂; С₂)

Якщо площини паралельні, то їх нормальні вектори колінеарні.

- умова паралельності площин

2) Площини можуть бути перпендикулярними.

₂

₁

- умова перпендикулярності площин

3) Кут між площинами обчислюється як косинус кута між

4) Відстань від точки до площини.

М₀ (х₀; у₀; z₀) Ах+Ву+Сz+D=0 - площина

3. Довільна пряма в просторі розглядається як пряма перетину двох площин, тому рівняння прямої в загальному вигляді задається як система рівнянь площин:

Канонічне рівняння прямої.

=(m; n; p)

(х-х₁; у-у₁; z-z₁)

М₁ (х₁; у₁; z₁) М (х; у; z)

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

М₁ (х₁; у₁; z₁) М₂ (х₂; у₂; z₂)

4. Взаємне розташування прямих.

₁ (1) (2) ₁ =(m₁; n₁; p₁), ₂ =(m₂; n₂; p₂)

Якщо прямі паралельні, то їх

напрямні вектори колінеарні

₂

- умова паралельності прямих

Перпендикулярні.

(1) ₂ (2)

₁

- умова перпендикулярності прямих

3) Кут між двома прямими дорівнює куту між їхніми напрямними векторами ₁ і ₂.

Взаємне розташування прямої та площини.

- пряма

- площина

1) Паралельні.

Аm+Bn+Cp=0

- умова паралельності

прямої і площини

2) Перпендикулярні. ||

- умова перпендикулярності

прямої і площини

Дата добавления: 2014-01-04