Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття


Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

2. [1] с. 84-93

Питання для самоконтролю

1. Рівняння площини в R3 .

2. Взаємне розташування площин.

3. Рівняння прямої в R3 .

4. Взаємне розташування прямих, прямої та площини.

5 Аналітична геометрія в економіці.


Л Е К Ц І Я 12

 

Тема: Функція однієї змінної. Границя функції

Мета: сформувати поняття функції, розглянути способи її задання; ознайомити границею змінної величини, нескінченно малими і нескінченно великими величинами, зв’язком між ними, границею функції, односторонніми границями.

Література: [1, с. 148-164]; [6, с. 205-218].

1. Означення функції, способи її задання.

2. Границя змінної величини. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх зв’язок.

3. Границя функції. Односторонні границі.

 

1. Якщо кожному елементу х з деякої множини Х за певним правилом ставиться у відповідність єдиний елемент у з множини У, то говорять, що у є функція від х і пишуть у=f (x).*

*Це означення належить М.І.Лобачевскому і Л.Діріхле.

х – незалежна змінна (або аргумент).

у – залежна змінна (або значення функції).

Множина Х називається областю визначення функції, множина У – область значень.

Способи задання функції.

1) Аналітичний (за допомогою формули).

при

2) Графічний (за допомогою графіка).

 
 


у

 

 

у=х2

0 х

 

 

3) Табличний

х -2 -1
у -8 -1

 

4) Словесний

Функція Діріхле: f (x)=1, якщо х – раціональне число; f (x)=0, якщо х – ірраціональне число.

2. Нехай в деякому процесі змінна величина х наближається до числа , тоді говорять, що х прямує до і пишуть . Це значить, що починаючи з деякого значення, х приймає як завгодно близькі до числа значення, але не рівні . Тоді говорять, що число є границею змінної величини х, і пишуть

=

Означення Число називається границею змінної величини х, якщо для довільного числа >0, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .

Тобто, починаючи з деякого значення, всі наступні значення х попадають

в - окіл точки і в процесі зміни залишаються в цьому околі.

 

0 х

 

Нескінченно малі величини

Нехай змінна величина* х в деякому процесі нескінченно зменшуючись наближається до 0 , тоді говорять, що х є нескінченно малою величиною.

* Величина, границя якої дорівнює 0

Означення. Змінна величина х називається нескінченно малою в процесі її зміни, якщо існує яке завгодно мале додатнє число , таке, що починаючи з деякого значення, всі наступні значення х задовольняють нерівність .



Тобто значення х попадає в - окіл нуля.

х х

0

 

Властивості нескінченно малих величин

1) Сума (різниця) нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2) Добуток нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

3) Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відмінну від нуля границю, є величина нескінченно мала.

4) Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

5) -невизначеність.

Нескінченно великі величини.

Означення. Змінна величина х називається нескінченно великою в деякому процесі, якщо для довільного як завгодно великого додатнього числа М її модуль більший від М: .

Говорять, що змінна х прямує до нескінченності і пишуть

або lim =

Нескінченно великі величини можуть бути і від’ємними, і додатніми.

- нескінченно велика від’ємна величина

- нескінченно велика додатня величина

 

Властивості нескінченно великих величин

1)

2)

3) - невизначеність

4) - невизначеність

 

Зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими величинами

Величина, обернена нескінченно великій, є нескінченно мала

Величина, обернена нескінченно малій, є нескінченно велика

3. Нехай дана функція у=f (х). Число А називається границею функції f (х) при , якщо для всіх значень х, які як завгодно мало відрізняються від , відповідні значення у як завгодно мало відрізняються від А.

f(x)=А

 
 


у у= f(x) Означення

Число А називається границею

А функції у= f(x) при , якщо для

будь-якого наперед заданого скільки

А- завгодно малого числа >0

знайдеться таке число , що для

будь-якого х, відмінного від , при

0 х виконанні нерівності виконується нерівність .

Якщо значення х попадає в -окіл точки , то значення у попадає в

-окіл точки А.


Правило обчислення границі

f (x) = f (a), якщо f (a) існує.

Приклад: Знайти

 

Властивості границь

1) (f (x)+g (x)) =f (x) +g (x)

(якщо =f (x) іg (x) існують)

для всіх властивостей

2) (f (x) (x)) =f g (x)

3) , якщо g (x)

4) c= f (x), де с – const

5) С=С, де С –const

6) Для того, щоб число А було границею функції f (x) при , необхідно і достатньо, щоб різниця f (x) – А була нескінченно малою величиною, тобто

f (x) =A <=>

де - нескінченно мала величина;

 

Тобто функція мало відрізняється від своєї границі на

нескінченно малий доданок: при

 

Односторонні границі

1) Лівостороння границя

Границя функції при за умови, що х залишається меншим за , називається лівосторонньою.

х

2) Правостороння границя

 


х


Приклад:

 

Одна з ознак існування границі (про границю проміжної функції)

 

Нехай функції і Ф (х) при мають одну й ту ж границю:

F (x) = Ф (х) =А. Нехай функція f (x) задовольняє нерівність

F (x)f (x)Ф (х). Перейдемо до lim при :

 

F (x)f (x)Ф (х)

А f (x) A

f (x) =A

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
П Л А Н. 1. Різні види рівнянь прямої на площині | П Л А Н. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 154; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.011 сек.