П Л А Н. 2. Невизначений інтеграл та його властивості

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

1) Розглянемо функцію f (x) на проміжку х (a; b).

Означення. Первісною для функції f (x) називається така функція F (x), похідна від якої дорівнює f (x):

(x) = f (x)

Приклад. F (x)=2х F (x) =x²

F (x) = x² – 6

F (x) = x²+…

З приклада можна зробити висновок, що для однієї й тієї ж функції f (x)=2х існує множина первісних, які відрізняються постійним доданком.

Теорема. Якщо F (x) – первісна функції f (x) на проміжку (a; b), то всяка інша первісна функції f (x) на цьому самому проміжку має вигляд F (x)+С.

Доведення: Нехай Ф (х) – деяка інша, крім F (x), первісна функції f (x), тобто

f (x), х (а; b). Знайдемо похідну різниці (ф (х) – F (x))’ = ф’(х) – F’(х)=

=f (x) – f (x)=0, а це означає, що ф (х) – F (x) =С, де С – сonst, тоді ф (х) = F (x) + С, що й потрібно було довести.

1) Дія знаходження множини первісних називається невизначеним інтегруванням.

Множина всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом, який позначається символом:

, де f (x) – підінтегральна функція, f (x) d x – підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування (знаходиться під знаком диференціала).

Невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою, і утворюється за допомогою паралельного переносу вздовж осі О_у.

у

F (x) + C₁

F (x)

F (x) + C₂

1) х

Властивості невизначеного інтеграла

1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

3) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

4) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

, с – const

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

З першої властивості видно, що знаки похідної і невизначеною інтеграла взаємно знищуються. Тобто операції диференціювання та інтегрування - взаємно обернені.

Правильність виконання операції інтегрування перевіряється диференціюванням.

3. Таблиця основних інтегралів.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Приклад. 1)

=

=

2)

1) Нехай даний невизначений інтеграл

Довільна формула інтегрування залишається справедливою незалежно від того, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. В цьому аклечається властивість інваріантності формули інтегрування.

Довільна формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну диференційовану функцію від х.

Нехай (х) – диференційована функція:

Приклад: - формула

Приклад:

1) =

2) ;

3)

=

Дата добавления: 2014-01-04