Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку


Завдання додому

 

1) Конспект; [1] с. 470 – 493;

[2] с. 340 – 350.

 

Питання для самоконтролю

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

 

 


Л Е К Ц І Я 30

 

Тема: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Мета: сформувати поняття різницевого рівняння порядку k; ознайомити з методами розв’язування різницевих рівнянь, застосуванням різницевих рівнянь в економіці.

Література: [1, с. 478-483]; [6, с. 441-444].

 

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

 

1. Означення. Нехай у0, у1, у2, у3, ... – послідовність дійсних чисел. Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв’язує у0, у1, у2, у3, ..., уn+k для кожного значення n = 0, 1, 2, 3 ...

 

Приклад: Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) - 3-го порядку

б) - 2-го порядку

в) +- 1-го порядку

 

Розв’язком різницевого рівняння називають таку множину значень , яка задовольняє різницеве рівняння для усіх можливих значень n.

Однорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називають рівняння виду або .

 

Теорема: Загальним розв’язком різницевого рівняння вигляду , де - задана стала, буде , де С – довільна стала

 

Доведення. В дане рівняння підставимо значення n = 1, 2, 3, ... Одержимо:

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

...

 
 

 

 


Порівнюючи з формулою бачимо, що , що й потрібно було довести.

Щоб знайти частинний розв’язок різницевого рівняння, потрібно задати початкові умови.

 

Зауваження: Якщо , то розв’язок зростає за показниковим законом; якщо - спадає.

 

Приклад: Знайти частинний розв’язок рівняння при початкових умовах

Запишемо формулу ,

.

Використовуючи початкові умови знайдемо С: при n = 5

 

Неоднорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називається рівняння виду

.

 

Формула для загального рівняння:

, тобто загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння 1-го порядку являє собою суму двох доданків: перший – загальний розв’язок відповідного однорідного різницевого рівняння, другий – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Частинний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння знаходимо із загального розв’язку, використовуючи початкові умови.

 

Приклад: Розв’язати різницеве рівняння ,

Використовуємо формулу

- загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння.

Знайдемо С, використовуючи початкові умови:

при n = 1, y1 = 5

2C = 8



C = 4

або

 

2. У фінансових розрахунках часто використовують різницеві рівняння замість геометричної прогресії.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
П Л А Н. 1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними | П Л А Н. 1. Однорідні лінійні різницеві рівняння

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 175; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.