Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Затухающие механические и электромагнитные колебания

Читайте также:
  1. Автоколебания.
  2. Акустические колебания
  3. Акустические колебания, шум, его параметры, связь между ними.
  4. Амплитудные, действующие, средние значения переменного электрического колебания.
  5. АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
  6. АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
  7. АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ.
  8. Виброакустические колебания
  9. Влияние металла покрытия на механические свойства стали ЗОХГСА
  10. Вынужденные колебания
  11. Вынужденные колебания
  12. Вынужденные колебания



 

3.1. Примеры решения задач

 

Пример 1

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время мин?

Дано: мин мин  

Решение. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по закону

,

где – амплитуда в момент времени ;

- амплитуда колебаний в начальный момент времени;

- коэффициент затухания.

Тогда

и

.

Прологарифмировав оба уравнения, выразим из каждого уравнения коэффициент затухания :

и .

Приравнивая правые части полученных выражений, находим, что , откуда следует, что

.

.

Ответ: .

 

Пример 2.

Гиря массой кг подвешена к пружине, жесткость которой Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период в двух случаях: 1) за время, в течении которого произошло колебаний, амплитуда уменьшилась в раза; 2) за время двух колебаний () амплитуда колебаний уменьшилась в N2= 20 раз.

Дано: кг Н/м  

Решение: Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Период

затухающих колебаний определяется по соотношению

.

Циклическую частоту собственных колебаний определим по соотношению

Коэффициент затухания вычислим по формуле

.

Чтобы найти величину , обратимся к уравнению затухающих колебаний

Уменьшающуюся со временем амплитуду выразим так:

.

Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать

.

Тогда

.

Отсюда, логарифмируя, имеем

.

Подставив численные значения N и n для двух случаев, получим:

.

Теперь запишем формулу для периода колебаний с учетом выражения для

Получилось квадратное уравнение относительно . Решая его, находим (отбросив, отрицательный корень)

.

Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае . Поэтому, сохраняя достаточную точность вычислений, можно пренебречь слагаемым , тогда

.

Во втором случае величину отбросить нельзя.

Произведем вычисления:

с;

с.

Ответ: с, с.

 

Пример 3*

Математический маятник длиной см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания:

а); б) .

Дано: см = м = 9,4 а); б).  
-?

Решение. Полная энергия маятника, совершающего затухающие колебания, уменьшается с течением времени по закону

где – масса маятника;

- частота затухающих колебаний;

- амплитуда маятника в момент времени.

Тогда отношение энергии маятника в момент времени к энергии маятника в момент времени равно



Так как - по условию, то

Коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания соотношением

где T – период затухающих колебаний.

Таким образом,

, откуда следует, что

. (1)

Период затухающих колебаний

где – частота собственных колебаний маятника.

Таким образом, период затухающих колебаний равен

(2)

Подставив формулу (2) в выражение (1) для определения времени, получим

. (3)

а)

Так как , то слагаемым в формуле (3) можно пренебречь.

Следовательно,

б)

Ответ: а) l=0,01, Dt=112 c; б) с.

Пример 4*

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на см. Оттягивая этот груз и опуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы: а) колебания прекратились через время с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвращался в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был ?

Дано: см = а) t = 10с б) в)
- ?

Решение:

а)

б) при возвращении груза в положение равновесия апериодически частота затухающих колебаний становится равной нулю:

Следовательно,

где – частота собственных колебаний груза на пружине;

- жесткость пружины;

- масса груза.

В состоянии равновесия на груз действует две силы: сила тяжести и сила упругости , причем

,

, откуда получим, что

.

;

в)

где – частота затухающих колебаний;

- частота собственных колебаний.

Преобразуя уравнение (1), получим для определения следующее выражение:

- откуда находим, что

.

.

Ответ:

 

Пример 5*

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью нФ, катушки с индуктивностью мГн и сопротивления Ом. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний?

Дано: Ф t = 10с Ом

Решение: Амплитудное значение разности потенциалов, при затухающих колебаниях, уменьшается по экспоненциальному закону

,

где – амплитуда разности потенциалов в начальный момент времени ;

- коэффициент затухания.

 

Тогда ,

где – период затухающих колебаний.

Так как частота затухающих колебаний связана с частотой собственных колебаний соотношением , то период затухающих колебаний вычисляется так:

.

Следовательно,

.

Ответ:

 

Пример 6*

Колебательный контур имеет емкость нФ и индуктивность мГн. Логарифмический декремент затухания . За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии контура?

Дано: Ф Гн

Решение: Энергия колебательного контура равна максимальной энергии электрического поля в контуре, которая пропорциональна амплитуде заряда на обкладках конденсатора:

,

где .

Преобразуем заданное условие к виду:

;

По условию задачи

, т.е.

.

Чтобы найти коэффициент затухания , выразим его через логарифмический декремент затухания и частоту незатухающих колебаний в контуре

;

отсюда ; ;

С учетом этого .

Произведем вычисления:

с

Ответ: с

 

Пример 7

Гиря массой г, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы составляет кг/c. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону (Н).Определите: 1) амплитуду вынуждающих колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше частоты собственных колебаний; 2) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную амплитуду.

Дано: г кг/с Н/м
1) 2) 3)

Решение: 1) Амплитуда вынужденных колебаний:

,

Учитывая, что , а и получаем

=

Подставляя значения, получаем

м=3,3 см

2) с-1;

3) м=20 см.

Ответ: см; с-1; см.

 

Пример 8.

Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсатора Ом и активного сопротивления, подключили к внешнему переменному напряжению с амплитудой В. При этом амплитуда установившегося тока оказалась равной А. Найти разность фаз между током и внешним напряжением.

Дано:
- ?  

Решение: В данном случае , где определяется по формуле (28) при :

.

Неизвестное значение емкости найдем из выражения для амплитуды тока

;

.

После подстановки в выражение для получили:

Произведем вычисления:

;

.

В нашем случае, это означает, что ток опережает по фазе напряжение.

Ответ: .


3.2. Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время мин уменьшилась в раза. За какое время , считая от начального момента, амплитуда уменьшится в раз?

(t2=20 мин)

 

2. Амплитуда колебаний математического маятника длиной м за время мин уменьшилась в раза. Определить логарифмический декремент затухания колебаний .

()

 

3. Тело, совершающее затухающие колебания, за время с потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент затухания .

()

 

4. Гиря массой г подвешена к пружине жесткостью Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания . Определить число полных колебаний , которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в раза. За какое время произойдет это уменьшение?

(t=172 с)

 

5. Определить период затухающих колебаний , если период собственных колебаний системы равен 1с, а логарифмический декремент затухания .

с)

 

6.* Математический маятник длиной м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на см, а при втором (в ту же сторону) на см. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда уменьшится в раз, где – основание натуральных логарифмов.

с)

 

7.* Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью нФ и катушки длиной l=20 см из медной проволоки диаметром мм. Найти логарифмический декремент затухания . Удельное сопротивление меди мкОм×м.

()

 

8. Логарифмический декремент затухания колебаний в контуре равен . Определить число полных колебаний за которое амплитуда заряда на обкладках конденсатора уменьшилась в 2 раза.

()

 

9. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью мкФ и катушки с индуктивностью . За время мс разность потенциалов на обкладках конденсатора уменьшается в четыре раза. Логарифмический декремент затухания . Чему равны индуктивность и сопротивление контура?

(мГн;Ом)

 

10. Колебательный контур имеет емкость нФ и индуктивность мГн. Логарифмический декремент затухания . Какой частью первоначального запасенной энергии будет обладать контур через время после начала колебаний (- период затухающих колебаний)? Чему равен коэффициент затухания?

()

 

11. Определите логарифмический декремент затухания , при котором энергия колебательного контура за полных колебаний уменьшается в раз.

()

 

12. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью мГн, конденсатора емкостью и резистора сопротивлением Ом. Определите, через сколько полных колебаний N амплитуда колебаний в контуре уменьшается в раз.

 

13. Гиря массой кг, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления кг/с. На верхний конец пружина действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону ,Н. Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания ; 2) резонансную амплитуду Aрез.

(; Aрез=2 см)

 

14. Гиря массой г, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону ,Н. Определите: 1) частоту собственных колебаний ; 2) резонансную частоту nрез; 3) резонансную амплитуду .

(Гц; nрез=7,88 Гц; Aрез=2 см)

 

15. Собственная частота колебаний некоторой системы составляет 500 Гц. Определите частоту затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота Гц.

(Гц)

 

16. В цепь колебательного контура, содержащего последовательно соединенные резистор сопротивлением Ом, катушку индуктивностью Гн и конденсатор емкостью C=28мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Im =180В и частотой ω=314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока Im в цепи; 2) сдвиг по фазе между током и внешним напряжением.

(Im =4,5А, φ = -1º, ток опережает напряжение)

 

17.* Катушка длиной l = 50 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2 включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки N = 3000. Найти сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током φ = 60º.

(R = 8,36 кОм)

 

18. Обмотка катушки состоит из N = 500 витков медной проволоки (удельное сопротивление меди ρ = 0,017 мкОм·м), площадь поперечного сечения которой S = 0,5 мм2. Длина катушки l = 50 см, ее диаметр D = 5 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивления R?

(ν = 59,6 Гц)





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 2143; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.224.184.33
Генерация страницы за: 0.047 сек.