Затухающие механические и электромагнитные колебания

3.1. Примеры решения задач

Пример 1

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время мин?

Дано: мин мин  

Решение. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по закону

,

где – амплитуда в момент времени ;

- амплитуда колебаний в начальный момент времени;

- коэффициент затухания.

Тогда

и

.

Прологарифмировав оба уравнения, выразим из каждого уравнения коэффициент затухания :

и .

Приравнивая правые части полученных выражений, находим, что , откуда следует, что

.

.

Ответ: .

Пример 2.

Гиря массой кг подвешена к пружине, жесткость которой Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период в двух случаях: 1) за время, в течении которого произошло колебаний, амплитуда уменьшилась в раза; 2) за время двух колебаний () амплитуда колебаний уменьшилась в N₂ = 20 раз.

Дано: кг Н/м  

Решение: Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Период

затухающих колебаний определяется по соотношению

.

Циклическую частоту собственных колебаний определим по соотношению

Коэффициент затухания вычислим по формуле

.

Чтобы найти величину , обратимся к уравнению затухающих колебаний

Уменьшающуюся со временем амплитуду выразим так:

.

Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать

.

Тогда

.

Отсюда, логарифмируя, имеем

.

Подставив численные значения N и n для двух случаев, получим:

.

Теперь запишем формулу для периода колебаний с учетом выражения для

Получилось квадратное уравнение относительно . Решая его, находим (отбросив, отрицательный корень)

.

Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае . Поэтому, сохраняя достаточную точность вычислений, можно пренебречь слагаемым , тогда

.

Во втором случае величину отбросить нельзя.

Произведем вычисления:

с;

с.

Ответ: с, с.

Пример 3*

Математический маятник длиной см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания:

а); б) .

Дано: см = м = 9,4 а); б).  

-?

Решение. Полная энергия маятника, совершающего затухающие колебания, уменьшается с течением времени по закону

где – масса маятника;

- частота затухающих колебаний;

- амплитуда маятника в момент времени.

Тогда отношение энергии маятника в момент времени к энергии маятника в момент времени равно

Так как - по условию, то

Коэффициент затухания связан с логарифмическим декрементом затухания соотношением

где T – период затухающих колебаний.

Таким образом,

, откуда следует, что

. (1)

Период затухающих колебаний

где – частота собственных колебаний маятника.

Таким образом, период затухающих колебаний равен

(2)

Подставив формулу (2) в выражение (1) для определения времени, получим

. (3)

а)

Так как , то слагаемым в формуле (3) можно пренебречь.

Следовательно,

б)

Ответ: а) l=0,01, D t =112 c; б) с.

Пример 4*

К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на см. Оттягивая этот груз и опуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания , чтобы: а) колебания прекратились через время с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвращался в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был ?

Дано: см = а) t = 10с б) в)

-?

Решение:

а)

б) при возвращении груза в положение равновесия апериодически частота затухающих колебаний становится равной нулю:

Следовательно,

где – частота собственных колебаний груза на пружине;

- жесткость пружины;

- масса груза.

В состоянии равновесия на груз действует две силы: сила тяжести и сила упругости , причем

,

, откуда получим, что

.

;

в)

где – частота затухающих колебаний;

- частота собственных колебаний.

Преобразуя уравнение (1), получим для определения следующее выражение:

- откуда находим, что

.

.

Ответ:

Пример 5*

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью нФ, катушки с индуктивностью мГн и сопротивления Ом. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний?

Дано: Ф t = 10с Ом

Решение: Амплитудное значение разности потенциалов, при затухающих колебаниях, уменьшается по экспоненциальному закону

,

где – амплитуда разности потенциалов в начальный момент времени ;

- коэффициент затухания.

Тогда ,

где – период затухающих колебаний.

Так как частота затухающих колебаний связана с частотой собственных колебаний соотношением , то период затухающих колебаний вычисляется так:

.

Следовательно,

.

Ответ:

Пример 6*

Колебательный контур имеет емкость нФ и индуктивность мГн. Логарифмический декремент затухания . За какое время вследствие затухания потеряется 99% энергии контура?

Дано: Ф Гн

Решение: Энергия колебательного контура равна максимальной энергии электрического поля в контуре, которая пропорциональна амплитуде заряда на обкладках конденсатора:

,

где .

Преобразуем заданное условие к виду:

;

По условию задачи

, т.е.

.

Чтобы найти коэффициент затухания , выразим его через логарифмический декремент затухания и частоту незатухающих колебаний в контуре

;

отсюда ; ;

С учетом этого .

Произведем вычисления:

с

Ответ: с

Пример 7

Гиря массой г, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы составляет кг/c. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону (Н).Определите: 1) амплитуду вынуждающих колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше частоты собственных колебаний; 2) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 3) резонансную амплитуду.

Дано: г кг/с ,Н Н/м

1) 2) 3)

Решение: 1) Амплитуда вынужденных колебаний:

,

Учитывая, что , а и получаем

=

Подставляя значения, получаем

м=3,3 см

2) с^-1;

3) м=20 см.

Ответ: см; с^-1; см.

Пример 8.

Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсатора Ом и активного сопротивления, подключили к внешнему переменному напряжению с амплитудой В. При этом амплитуда установившегося тока оказалась равной А. Найти разность фаз между током и внешним напряжением.

Дано:

-?  

Решение: В данном случае , где определяется по формуле (28) при :

.

Неизвестное значение емкости найдем из выражения для амплитуды тока

;

.

После подстановки в выражение для получили:

Произведем вычисления:

;

.

В нашем случае, это означает, что ток опережает по фазе напряжение.

Ответ: .

3.2. Задачи для самостоятельного решения.

1. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время мин уменьшилась в раза. За какое время , считая от начального момента, амплитуда уменьшится в раз?

(t₂=20 мин)

2. Амплитуда колебаний математического маятника длиной м за время мин уменьшилась в раза. Определить логарифмический декремент затухания колебаний .

()

3. Тело, совершающее затухающие колебания, за время с потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент затухания .

()

4. Гиря массой г подвешена к пружине жесткостью Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания . Определить число полных колебаний , которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в раза. За какое время произойдет это уменьшение?

( t =172 с)

5. Определить период затухающих колебаний , если период собственных колебаний системы равен 1с, а логарифмический декремент затухания .

с)

6.* Математический маятник длиной м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на см, а при втором (в ту же сторону) на см. Найти время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда уменьшится в раз, где – основание натуральных логарифмов.

с)

7.* Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью нФ и катушки длиной l =20 см из медной проволоки диаметром мм. Найти логарифмический декремент затухания . Удельное сопротивление меди мкОм×м.

()

8. Логарифмический декремент затухания колебаний в контуре равен . Определить число полных колебаний за которое амплитуда заряда на обкладках конденсатора уменьшилась в 2 раза.

()

9. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью мкФ и катушки с индуктивностью . За время мс разность потенциалов на обкладках конденсатора уменьшается в четыре раза. Логарифмический декремент затухания . Чему равны индуктивность и сопротивление контура?

(мГн;Ом)

10. Колебательный контур имеет емкость нФ и индуктивность мГн. Логарифмический декремент затухания . Какой частью первоначального запасенной энергии будет обладать контур через время после начала колебаний (- период затухающих колебаний)? Чему равен коэффициент затухания?

()

11. Определите логарифмический декремент затухания , при котором энергия колебательного контура за полных колебаний уменьшается в раз.

()

12. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью мГн, конденсатора емкостью и резистора сопротивлением Ом. Определите, через сколько полных колебаний N амплитуда колебаний в контуре уменьшается в раз.

13. Гиря массой кг, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления кг/с. На верхний конец пружина действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону ,Н. Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания ; 2) резонансную амплитуду A _рез.

(; A _рез=2 см)

14. Гиря массой г, подвешенная на пружине жесткостью Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону ,Н. Определите: 1) частоту собственных колебаний ; 2) резонансную частоту n_рез; 3) резонансную амплитуду .

(Гц; n_рез=7,88 Гц; A _рез=2 см)

15. Собственная частота колебаний некоторой системы составляет 500 Гц. Определите частоту затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота Гц.

(Гц)

16. В цепь колебательного контура, содержащего последовательно соединенные резистор сопротивлением Ом, катушку индуктивностью Гн и конденсатор емкостью C =28мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением I_m =180В и частотой ω=314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока I_m в цепи; 2) сдвиг по фазе между током и внешним напряжением.

(I_m =4,5А, φ = -1º, ток опережает напряжение)

17.* Катушка длиной l = 50 см и площадью поперечного сечения S = 10 см² включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки N = 3000. Найти сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током φ = 60º.

(R = 8,36 кОм)

18. Обмотка катушки состоит из N = 500 витков медной проволоки (удельное сопротивление меди ρ = 0,017 мкОм·м), площадь поперечного сечения которой S = 0,5 мм². Длина катушки l = 50 см, ее диаметр D = 5 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление Z катушки вдвое больше ее активного сопротивления R?

(ν = 59,6 Гц)

Дата добавления: 2014-01-04