КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Общее и каноническое уравнение поверхностей второго порядка
Поверхности второго порядка
Общее уравнение поверхностей второго порядка (т.е. уравнение второго порядка от трех переменных) имеет вид: (47.1) С условием (47.2) справедлива следующая доказанная в параграфе 53 теорема: существует такой ортонормированный базис, в записи которогоуравнение (47.1) имеет вид (47.3) с условием (47.4) Считаем, что если какая-то переменная отсутствует, то это Z, в противном случае делаем соответствующую замену переменных (или B=G=0), и тогда равенство(47.3) с условием (47.4) станет уравнением (35.13) с условием (35.14) (см. §35). Тогда из §35 получим, что уравнение (35.13) и следовательно, уравнение (47.3) при отсутствии хотя бы одной переменной можно привести к одному из следующих:
(33.4) (34.1) (34.3) (35.21) (35.30) (35.32) (35.31) (35.23) (35.20) Далее положим, что все три переменные в (47.3) присутствуют. Тогда возможны следующие случаи: I. II. B=0 III. , Рассмотрим поочередно все эти случаи: 1.
Здесь мы выделим полный квадрат, где Обозначим за Тогда уравнение (47.3) примет вид: (47.5). Исследуем уравнение (47.5).Уравнение (47.5) будем исследовать в зависимости от знаков коэффициентов при . При этом обратим внимание на следующее: Замечание: не ограничивая общности, всегда можно считать, что при и стоят коэффициенты одного знака.(ибо из трёх чисел А,В и С хотя бы два из них имеют один и тот же знак и в случае необходимости, можно считать, что один знак имеют числа А и B). Мы вводим такие числа a, b и с(по условию Сначала рассмотрим случай . Тогда уравнение (47.5) принимает вид: (47.6) ; Тогда уравнение (47.6) примет вид (47.7) ; ; В этом случае из уравнения (47.6) получим (47.8) Этот случай сводится к предыдущему путём замены знаков обеих частей уравнения (47.6) 4) ; -; Этот случай сводится к первому заменой знаков в обеих частях уравнения (47.6) Пусть теперь . Тогда, поделив обе части уравнения (47.5) на получим (47.16) Исследуем далее знаки при в уравнении (47.16). При этом (см. вышестоящее замечание), не ограничивая общности, всегда можно считать, что при стоят коэффициенты одного знака. Попутно, мы также определяем величины a, b, c 1) ; ; ; В этом случае уравнение (47.16) принимает вид (47.17) 2); ; ; Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.18)
3) ; ; ; Тогда равенство (47.16) принимает вид (47.19) Или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.19), получим (47.20) 4) ; ; ; Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.21) или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.21), получаем (47.22) II; ; в равенстве (47.3), тогда уравнение (47.3) принимает вид Преобразуем последнее равенство, выделяя при x и y полные квадраты Обозначим далее Из последнего равенства получаем: , или . Поделив обе части последнего равенства на -2G, получим (47.23) Исследуем далее знаки при в равенстве (47.23) При этом если знаки разные, то, поменяв, в случае необходимости, переменные x и y местами, считаем, что коэффициент при положительный. Мы вводим так же величины a и b. 1) Тогда уравнение (47.23) принимает вид: (47.24) 2) В этом случае уравнение (47.23) примет вид: (47.25) 3) При таких условиях уравнение (47.23) выглядит следующим образом: (47.26) Положив далее , из уравнения (47.26) получим . Поменяв далее знаки в последнем равенстве, из него мы получим уравнение (47.24) III. Тогда уравнение (47.3) принимает вид: (47.27) В уравнении (47.27) при “y” выделим полный квадрат (47.28) Введем новые переменные (Согласно §48(и §35)), последнее преобразование является поворотом осей координат и на угол по часовой стрелке Тогда в новой системе координат уравнение (47.28) принимает вид:
, или (47.29) Обозначив величину за p введем новые переменные. Тогда равенство (47.29) в новой системе координат примет вид (34.3) (т.е случай III привел нас к уравнению (34.3) и ничего нового не дал).
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 583; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |