Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Общее и каноническое уравнение поверхностей второго порядка


Поверхности второго порядка

 

Общее уравнение поверхностей второго порядка (т.е. уравнение второго порядка от трех переменных) имеет вид:

(47.1)

С условием (47.2)

справедлива следующая доказанная в параграфе 53 теорема:существует такой ортонормированный базис, в записи которогоуравнение (47.1) имеет вид

(47.3)

с условием (47.4)

Считаем, что если какая-то переменная отсутствует, то это Z, в противном случае делаем соответствующую замену переменных (или B=G=0), и тогда равенство(47.3) с условием (47.4) станет уравнением (35.13) с условием (35.14) (см. §35). Тогда из §35 получим, что уравнение (35.13) и следовательно, уравнение (47.3) при отсутствии хотя бы одной переменной можно привести к одному из следующих:

 

(33.4) (34.1)

(34.3) (35.21)

(35.30) (35.32)

(35.31) (35.23)

(35.20)

Далее положим, что все три переменные в (47.3) присутствуют. Тогда возможны следующие случаи:

I.

II. B=0

III. ,

Рассмотрим поочередно все эти случаи:

1.

 

Здесь мы выделим полный квадрат , где

Обозначим за

Тогда уравнение (47.3) примет вид :

(47.5).

Исследуем уравнение (47.5).Уравнение (47.5) будем исследовать в зависимости от знаков коэффициентов при . При этом обратим внимание на следующее:

Замечание: не ограничивая общности, всегда можно считать, что при и стоят коэффициенты одного знака.(ибо из трёх чисел А,В и С хотя бы два из них имеют один и тот же знак и в случае необходимости, можно считать, что один знак имеют числа А и B).

Мы вводим такие числа a, b и с(по условию

Сначала рассмотрим случай . Тогда уравнение (47.5) принимает вид:

(47.6)

; Тогда уравнение (47.6) примет вид

(47.7)

; ; В этом случае из уравнения (47.6) получим

(47.8)

Этот случай сводится к предыдущему путём замены знаков обеих частей уравнения (47.6)

4) ; -; Этот случай сводится к первому заменой знаков в обеих частях уравнения (47.6)

Пусть теперь . Тогда, поделив обе части уравнения (47.5) на получим (47.16)

Исследуем далее знаки при в уравнении (47.16). При этом (см. вышестоящее замечание), не ограничивая общности, всегда можно считать, что при стоят коэффициенты одного знака. Попутно , мы также определяем величины a, b, c

1) ; ; ;

В этом случае уравнение (47.16) принимает вид (47.17)

2); ; ;

Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.18)

 

3) ; ; ;

Тогда равенство (47.16) принимает вид (47.19)

Или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.19), получим

(47.20)

4) ; ; ;

Тогда уравнение (47.16) принимает вид (47.21)

или, поменяв знаки в обеих частях уравнения (47.21) , получаем



(47.22)

II; ; в равенстве (47.3), тогда уравнение (47.3) принимает вид

Преобразуем последнее равенство, выделяя при x и y полные квадраты

Обозначим далее

Из последнего равенства получаем: , или . Поделив обе части последнего равенства на -2G, получим

(47.23)

Исследуем далее знаки при в равенстве (47.23) При этом если знаки разные, то, поменяв, в случае необходимости, переменные x и y местами, считаем, что коэффициент при положительный. Мы вводим так же величины a и b.

1)

Тогда уравнение (47.23) принимает вид:

(47.24)

2)

В этом случае уравнение (47.23) примет вид:

(47.25)

3)

При таких условиях уравнение (47.23) выглядит следующим образом:

(47.26)

Положив далее ,из уравнения (47.26) получим .Поменяв далее знаки в последнем равенстве, из него мы получим уравнение (47.24)

III.

Тогда уравнение (47.3) принимает вид :

(47.27)

В уравнении (47.27) при “y” выделим полный квадрат

(47.28)

Введем новые переменные

(Согласно §48( и §35)), последнее преобразование является поворотом осей координат и на угол по часовой стрелке

Тогда в новой системе координат уравнение (47.28) принимает вид:

 

, или

(47.29)

Обозначив величину за p введем новые переменные.

Тогда равенство (47.29) в новой системе координат примет вид

(34.3)

(т.е случай IIIпривел нас к уравнению (34.3) и ничего нового не дал).

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Расстояние между скрещивающимися прямым | Эллипсоид

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 324; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.