П. 1. Определения

Измеримые функции

Продолжение меры по Жордану

Лебегово продолжение меры

Общее понятие меры

П.4 Мера Лебега-Стильтьеса

П.3 Обобщение понятия меры

Для задания меры на всей плоскости разобьем ее на единичные квадраты:.

Множество измеримо, если для - измеримо и. Если ряд расходится, то.

В пространстве мера Лебега определяется также, как и в пространстве.

Пример неизмеримого по Лебегу множества.

Возьмем окружность С длиной 1. Пусть - произвольное иррациональное число. Разобъем С на классы. Точки А и В лежат в одном классе, если В можно получить из А поворотом на угол.

Составим множество - в него войдет по одной точке из каждого класса. Пусть множество получено поворотом на угол. Все множества конгруэнтны. Тогда

Если предположить, что измеримо по Лебегу, то, но тогда -противоречие.

Пусть - неубывающая, непрерывная слева (F(x-0)=F(x)). Определим меру промежутка следующим обазом:

Если - мера Лебега.

называется абсолютно непрерывной, если.

называется дискретной, если множество значений F конечно или счетно.

называется сингулярной, если

Любая мера представима в виде суммы абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер.

Опр.1 Функция множества называется мерой, если

1) Область определения – полукольцо

2) Область значений

3) Конечная аддитивность:

Опр.2 Мера называется продолжением меры, если

Теорема 1. Для любой меры, заданной на проколотой, существует и единственно ее продолжение на минимальное кольцо, порожденное.

⧠ 1) Существование.

- удовлетворяет всем требованиям к мере и к продолжению меры.

2) Единственность. Пусть - мера на

не зависит от способа разбиения на ∎

Опр.3 Мера называется - аддитивной (счетно-аддитивной), если

Примеры:

1) Мера Лебега - -аддитивна.

2) Вероятностная мера.

-аддитивна.

3)

Конечно-аддитивна

- нет -аддитивности.

Теорема 2. Если мера на полукольце является - аддитивной, то и её продолжение на кольцо будет - аддитивно.

(Без доказательства)

Пусть - полукольцо множеств с единицей Е. - -аддитивная мера на. М - система всех подмножеств множества Е. Введем внешнюю меру на М:.

Опр.1 Множество A называется измеримым (по Лебегу), если. Мера, рассматриваемая на измеримых множествах называют продолжением меры по Лебегу.

Система измеримых множеств - -алгебра и мера - -аддитивна и непрерывна.

Опр. 2 Мера называется полной, если - измеримо.

Продолжение меры по Лебегу – полная мера

Пусть мера задана на кольце (не - аддитивна). Множество называется измеримым по Жордану, если:

Если множество измеримо по Жордану, то оно измеримо по Лебегу, но обратное неверно.

Пусть - множества. - выделенные системы подмножеств. Рассмотрим функции.

Опр. 1 Функция называется - измеримой, если.

Если взять - все открытые множества. Функция - измерима функция – непрерывна.

Пусть - система измеримых множеств, - -аддитивна.,

- система борелевских множеств из.

Опр. 2 Функция называется - измеримой (или просто измеримой), если.

Функция называется борелевской (- измеримой), если

- борелевского множества - борелевское множество.

Теорема 1. (о суперпозиции измеримых функций)

Пусть - множества. - системы подмножеств этих множеств, - измерима и - измерима. Тогда: - измерима.

, так как - измерима, то, так как - измерима, то ∎

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие измеримости функции)

Для измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы множество было измеримо.

1) Необходимость. - борелевское множество. - измеримо.

2) Достаточность. Множество вида порождают минимальную - алгебру, которое является - алгеброй борелевского множества., где - борелевское, - измеримо. ∎

Замечание. Так как все множество Е измеримо (возможно, бесконечной меры), то множество можно заменить на любое из двух следующих множеств:

Дата добавления: 2014-01-04