П.1 Простые функции

Интеграл Лебега

Теорема 7

Теорема 6

П.5 Сходимость по мере

П.4. Сходимость почти всюду

П.3. Эквивалентность

П.2 Действия с измеримыми функциями

Теорема 3. Пусть f и g измеримые функции. Тогда -измеримы.

□1) Пусть f - измеримая функция. Тогда очевидно, что - измерима, - измерима. Второе утверждение следует из того, что условие равносильно условию. Для доказательства первого рассмотрим разные значения k:.

2) Докажем, что для измеримых функций f и g - измеримо.

3) Докажем, что квадрат измеримой функции измерим.

4) Докажем, что произведение измеримых функций измеримо.

5) Функция, обратная к измеримой - измерима. Рассмотрим неравенство. При разных C оно равносильно

■

Теорема 4. Пусть - последовательность измеримых функций,. Тогда - измерима.

□ Докажем:.

3)Так как в правой части измеримые множества, следовательно в левой части так же измеримые, а значит f(x)- измерима.

■

Опр. Функции f и g называются эквивалентными, если

Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду, если оно выполнено везде, кроме множества меры ноль.

Функция, эквивалентная измеримой, измерима.

Опр. сходится к f(x) почти всюду, если

Пример:

кроме x=1

почти всюду на

Если последовательность измеримых функций сходится к f(x) почти всюду, то f(x)- измерима

Если почти всюду и, то f(x) и g(x) эквивалентны.

Теорема 5(Егорова)

Пусть Е – множество конечной меры. Последовательность измеримых функций почти всюду на Е.

Тогда изм. мн-во и

□

f(x)-измерима

Докажем, что на:

При - опр. равн. сх-ти

Оценим

сколь угодно большое i

■

Опр. Последовательность измеримых функций сходится к по мере, если для

Если последовательность измеримых функций сходится к почти всюду, то сходится к по мере

□

-измерима

Докажем:

■

Замечание: обратное неверно

Пусть последовательность измеримых функций сходится к по мере. Тогда из можно выделить, которая сходится к почти всюду.

□

Докажем, что почти всюду

Докажем, что на E\Q

■

Теорема 8(Лузина)

Для того чтобы функция была измеримой необходимо и достаточно чтобы - непрерывная на [a,b], что

(c-свойство)

Пусть мера: -аддитивна, полная, задана на -алгебре с единицей

Рассмотрим измеримые множества из, измеримые функции на

Пусть - конечна.

называется простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений.

Теорема 1., принимающая значения измерима тогда и только тогда, когда каждое множество измеримо.

□ 1) Пусть - измерима. Т.к. множество - борелевское => измеримо. 2) Пусть - измеримы. Любое борелевское множество из имеет вид => его прообраз есть - измерим => измерима. ■

Теорема 2. Для измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности простых функций.

□ Достаточность. Пусть - простые функции, => измерима.

Необходимость. Пусть - измерима, пусть

=> ■

Дата добавления: 2014-01-04