Переставлення членів збіжного ряду. Теореми Римана, Коші

Поняття абсолютної і умовної збіжності числового ряду. Звязок між збіжністю і абсолютною збіжністю числового ряду

План

Лекція 30. Абсолютно і умовно збіжні числові ряди

1. Поняття абсолютної і умовної збіжності числового ряду. Звязок між збіжністю і абсолютною збіжністю числового ряду
2. Переставлення членів збіжного ряду. Теореми Римана, Коші
3. Сполучна властивість збіжного ряду
4. Ряд Лейбніца

Нехай

(1)

- ряд з будь-якими дійсними членами.

Визначення 1. Кажуть, що ряд (1) збігається абсолютно, якщо збігається ряд

. (2)

Теорема 1. З абсолютної збіжності ряду витікає його збіжність.

Доказ. Ряд (2) збігається. За критерієм Коші збіжності ряду це означає, що

, що для:, тобто.

Для збіжності ряду (1) потрібно, щоб, що для виконувалося

.

Якщо взяти, то

.

Ряд (1) збігається за критерієм Коші.

Зауваження. Якщо ряд збігається, з цього ще не витікає, що він збігається абсолютно.

Визначення 2. Кажуть, що ряд (1) збігається умовно, якщо він збігається, а відповідний йому ряд з абсолютних значень розбігається.

Зауваження. Для того, щоб установити абсолютну збіжність ряду (1), до додатного ряду (2) можливо вживати усі ознаки збіжності рядів з додатними членами. Але необхідно бути обережним з ознакою розбіжності. Якщо навіть ряд (2) розбігається, ряд (1) може збігатися (умовно). Винятками є тільки ознаки Коші та Даламберу, тому що коли вони констатують розбіжність ряду (2) це означає, що загальний член ряду (2) не наближається до 0. а тоді до 0 не наближається і, тому ряд (1) розбігається. Тому ознаки Коші та Даламберу можуть бути використовані для будь-якого ряду.

Теорема 2. Сума умовно збіжного ряду залежить від порядку членів.

Для підтвердження цього розглянемо приклад. Ряд є умовно збіжним, бо ряд з абсолютних значень - це гармонічний ряд, він розбігається. З збіжності ряду витікає, що його послідовність зрізаних сум і всі підпослідовності цієї послідовності є збіжними і прямують до. Розглянемо підпослідовність елементів, що мають парні номери, послідовності:

.

.

Переставимо елементи поданого ряду наступним чином:

(5)

Для отриманого переставленого ряду (5) послідовність його зрізаних сум позначимо. Побудуємо підпослідовності послідовності зрізаних сум: (включає елементи з, які мають номери, кратні 3), (включає елементи з, номери яких мають вигляд, тобто 2,5,8,11,...), (включає елементи з, номери яких мають вигляд, тобто 1,4,7,...).

,.

.

Таким чином, після переставлення ряд дійсно має іншу суму.

Теорема 3 (Римана). Якщо ряд (1) збігається умовно, то яким би не було число, ряд (1) можливо переставити так, щоб здобутий ряд збігався до.

Теорема 4 (Коші) (про переставлення членів абсолютно збіжного ряду). Якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, здобутий з нього будь-яким переставленням членів, збігається до того ж самого числа, що й поданий ряд, крім того здобутий ряд збігається абсолютно.

Дата добавления: 2014-01-04