Определение несобственного интеграла І рода

План

Лекция 37. Несобственные интегралы І рода

Питання

Ряд Лейбніца

Сполучна властивість збіжного ряду

Теорема 5. Збіжному ряду притаманна сполучна властивість, тобто якщо ряд

збігається до, в ньому можливо поставити дужки. Після цього здобудемо збіжний ряд

, (10)

який має ту ж саму суму.

Доказ. Нехай - зрізані суми поданого ряду. Тоді є зрізані суми ряду з дужками. Їх послідовність – це послідовність. Оскільки, то і, а ряд збігається до.

Зауваження. Приклад ряду показує, що у збіжному ряді дужки взагалі убирати не можна.

Нехай - послідовність додатних чисел.

Ряди

(20)

(30)

називаються знакопереміжними рядами.

Будемо розглядати (20), бо ряд (30) отримаємо, якщо (20) помножимо на -1, що ніяк не впливає на збіжність (розбіжність) ряду.

Теорема 6 (Лейбніца). Якщо послідовність монотонно спадає і наближається до 0, то ряд (20) збігається.

Доказ. Маємо

1)

2) (необхідна умова збіжності)

Позначимо послідовність зрізаних сум цього ряда. Розглянемо: - це скінченна сума, тому дужки тут ставити можна за правилами арифметики:

.

.

Оскільки, то (тобто послідовність зрізаних сум парної кількості елементів ряду є неспадаючою).

Інакше:

.

Всі вирази в дужках невідємні, тому:

. (40)

Таким чином, монотонна (неспадаюча) і обмежена, тому.

Візьмемо, тому.

Існування спільної границі і говоре про існування границі всієї послідовності зрізаних сум, тому ряд збігається.

Ряд, який задовольняє теоремі Лейбніца, називається рядом Лейбніца.

Зауваження. З нерівності (40) маємо

, де.

Якщо розглянути ряд, то буде мати місце нерівність

.

Висновок: сума ряду Лейбніца має знак першого члену ряду і за модулем.

Це зауваження дає можливість легко оцінювати похибки при обчислюваннях за допомогою рядів Лейбніца, тому що залишок ряду Лейбніца за модулем не більше, ніж модуль першого відкладаємого члена.

Приклад. Розглянемо знакопереміжний ряд:

Ряд збігається за теоремою Лейбніца. Якщо замість суми ряду обчислити значення його зрізанної суми, яку похибку ми при цьому будемо мати? За попереднім зауваженням:

.

1. Який ряд називається абсолютно (умовно0 збіжним? Навести приклади абсолютно (умовно) збіжних рядів.
2. Як повязані між собою абсолютна і умовна збіжність ряду?
3. Чи зміниться сума ряду при переставленні його членів? Відповідь пояснити.
4. Сполучна властивість збіжного ряду.
5. Який ряд називається знакопереміжним? Навести приклади.
6. Теорема Лейбніца. Ряд Лейбніца. Навести приклади.

1. Определение несобственного интеграла І рода
2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла І рода
3. Общее достаточное условие сходимости несобственного интеграла І рода

Определение 1. Пусть функция определена на. Допустим, что существует. Несобственным интегралом (НИ) I рода называется

. (1)

Если предел (1) существует, то говорят, что НИ сходится, иначе - расходится.

Замечание. Если, то

,

и интегралы сходятся и расходятся одновременно. Действительно:

.

Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла.

,

Таким образом, представленный интеграл сходится и равен ½.

Дата добавления: 2014-01-04