Понятие особой точки функции

План

Питання

Інтегрирование по частям в несобственном интеграле І рода

Теорема 4. Нехай функції визначені ідиференційовані на, при цьому виконуються наступні умови:

1) Функції - неперервні на;

2);

3),

тоді

. (1)

Формула (1) називається формулою інтегрування за частинами в НІ І роду.

Доказ. Розглянемо будь-який. На ньому діє знайома формула інтегрування за частинами для інтегралу Рімана:

. (2)

З умов теореми маємо, що

.

Тоді з рівняння (2) витікає одночасна збіжність чи розбіжність інтегралів, і має місце (1), коли один з інтегралів збігається.

Определение 2. Невласний інтеграл І роду також можна визначити наступним чином:

,

чи

, (3)

до того ж в (3) незалежно одне від одного.

1. Коли НІ І роду називається абсолютно збіжним? Навести приклади абсолютно збіжних НІ І роду.

2. Коли НІ І роду називається умовно збіжним? Навести приклади умовно збіжних НІ І роду.

3. Як повязані між собою абсолютна і умовна збіжність НІ І роду?

4. Ознаки Абеля та Дирихле.

5. При яких умовах можна проводити заміну змінної у НІ І роду? Навести приклади.

6. Коли у НІ І роду можна проводити інтегрування за частинами? Навести приклади.

1. Понятие особой точки функции
2. Определение несобственного интеграла ІІ рода
3. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла ІІ рода

Пусть функция определена на, возможно за исключением точки, непрерывна на.

Определение 1. Говорят, что точка является особой точкой для, если функция неограничена на и ограничена на (рис.1).

Рис.1.

Из свойств функции (непрерывность на, а потому и на любом сегменте) вытекает существование обычного интеграла Римана

.

2.Определение несобственного интеграла ІІ рода

Определение 2. Пусть является особой точкой для. Тогда

(1)

называется несобственным интегралом ІІ рода и обозначается.

Иногда для большей наглядности НИ ІІ рода обозначается с выделением особой точки:

Определение 3. Если существует (не существует) предел (1), то говорят, что НИ ІІ рода сходится (расходится).

Замечание 1. Пусть особая точка для функции является внутренней точкой сегмента интегрирования, т.е. рассматривается, а. Тогда искомый интеграл представляется в виде:

отметим, что и независимо друг от друга. Данный интеграл будет сходиться, если сходятся оба интеграла.

Пример. Для интеграла, который зависит от параметра, определить, когда этот интеграл сходится? Данный интеграл при - это обычный интеграл Римана, поэтому сходится, поэтому дальше подробно рассматриваем случай, когда. Подинтегральная функция является неограниченной на, если, в этом случае - особая точка. Тогда

.

Рассмотрим, когда:

.

Теперь надо определить, когда существует:

Пусть теперь:

;

,

Т.е. для интеграл расходится.

Таким образом, объединяя все полученные результаты, имеем:

Замечание 2. Абсолютно аналогично предыдущему примеру ведет себя

для которого особой точкой является точка.

Замечание 3. Если для подинтегральная функция на имеет несколько особых точек, то сегмент интегрирования разбивается на несколько сегментов так, чтобы каждый из полученных сегментов имел в своем составе лишь одну особую точку, которая является одним из концов этого сегмента. Например, подинтегральная функция в интеграле на сегменте интегрирования имеет две особые точки:, которые не являются концами для сегмента. Поэтому при вычислении сначала надо:

.

Пример. Рассмотрим, где. Выясним, при каких значениях параметра этот интеграл является сходящимся (расходящимся). Сначала определимся с тем, каким является этот интеграл. Отметим, что для точка является особой точкой подинтегральной функции, поэтому целесообразным будет представление этого интеграла в виде:

. (3)

Для первый интеграл в правой части (3) – НИ ІІ рода, а второй – НИ І рода. Таким образом, данный интеграл является смешанным. Он будет сходиться лишь тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (3). сходится лишь для, но для интеграл является расходящимся. Поэтому данный интеграл не будет сходиться ни при каком, так как если сходится один интеграл, расходится другой и наоборот.

3. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла ІІ рода.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла ІІ рода). Для того, чтобы сходился НИ (точка - особая для подинтегральной функции), необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство вытекает из критерия существования предела функции в точке.

Рассмотрим функцию. Мы знаем, что

,

Теорема 2 (признак сравнения для НИ ІІ рода). Пусть. Тогда:

1) если, то - сходится;

2) если, то - расходится.

Дата добавления: 2014-01-04