Замена переменной в несобственном интеграле І рода

План

Питання

Критерій Коші збіжності невласного інтегралу І роду

При вивченні властивостей функції однієї змінної було встановлено, що для того, щоб мала границю в точці необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші в цій точці, тобто щоб

для таких, що,, виконується нерівність:

.

Збіжність НІ І роду еквівалентна існуванню границі (1) функції одної змінної. Таким чином:

якщо для виконується нерівність

,

то границя (1) існує. Таким чином, ми довели наступну теорему.

Теорема 1 (Критерій Коші збіжності невласного інтегралу І роду). Для того, щоб збігався невластивий інтеграл I роду необхідно і достатньо щоб

:.

3.Загальна достатня умова збіжності невласного інтегралу І роду

Теорема 2. Нехай функції визначені на і виконуються наступні умови:

1),;

2) - збігається,

то збігається і.

Доказ. Іх збіжності інтегралу за критерієм Коші (теорема 1) витікає, що

.

Враховуючи умову 1) теореми, маємо, що функція для, а це означає, що і, тобто модуль в останній нерівності можна зняти.

За властивостями інтеграла Римана маємо:

.

Таким чином, для маємо виконання критерію Коші збіжності.

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл, де. Зясуємо, при яких значеннях параметру цей інтеграл є збіжним. Нехай спочатку. В цьому випадку:

.

Отримана границя існує, а поданий інтеграл збігається, якщо, тобто. Якщо, то інтеграл розбігається.

Залишилося розглянути випадок, коли:

.

Таким чином,

1. Визначення невласного інтегралу І роду.

2. Умова Коші в точці для функції однієї змінної.

3. Критерій існування границі функції однієї змінної.

4. Коли невласний інтеграл І роду називається збіжним (розбіжним)? Навести приклади збіжних (розбіжних) невласних інтегралів.

5. Критерій Коші збіжності НІ І роду.

6. Як повязана збіжність (розбіжність) інтегралів?

7. Загальна достатня умова збіжності невласного інтегралу І роду.

1. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла І рода
2. Замена переменной в несобственном интеграле І рода
3. Інтегрирование по частям в несобственном интеграле І рода

1. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла І рода

Определение 1. НИ І рода сходится абсолютно, если сходится.

Если сходится, а расходится, то говорят, что сходится условно.

Утверждение. Из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость.

Доказательство вытекает из общего достаточного условия сходимости (лекция 37), если положить.

Теорема 1 (признак Абеля). Пусть и определены на и выполняются следующие условия:

1) интегрируема на, т.е. является сходящимся;

2) - монотонна и ограничена на,

тогда сходится.

Теорема 2 (признак Дирихле). Пусть и определены на и выполняются следующие условия:

1) для функция, которая определяется как, является ограниченной на множестве;

2) монотонная функция на,,

тогда сходится.

Замечание. Из признака Дирихле вытекает признак Абеля.

Доказательство. Покажем, что выводы, которые делаются из теоремы Абеля, вытекают из условий Дирихле.

1) В теореме Абеля для функции требуется сходимость. Интеграл сходящийся, если существует. Из существования предела функции вытекает ее ограниченность. Таким образом, выполняется первое условие признака Дирихле.

2) В признаке Абеля функция должна быть монотонной и ограниченной. Из этого вытекает существование конечного предела. Учитывая это, рассмотрим:

Таким образом, имея условия признака Абеля, которые накладываются на функции и, мы можем доказать сходимость, пользуясь признаком Дирихле, что и нужно было доказать.

Пример. Исследовать на сходимость.

Покажем выполнение условий Дирихле для подинтегральной функции. Для этого выберем:

,.

Такой выбор является целесообразным, поскольку для выбранных функций выполняются условия Дирихле. Действительно:

,

что говорит о выполнении 1) условия для функции;

, если к тому же монотонная,

что свидетельствует о выполнении условия 2). Поэтому сходится при.

Теорема 3. Пусть функция определена на, и для нее выполняются следующие условия:

1) непрерывна на;

2) является областью значений некоторой строго монотонной функции, (а возможно);

3) - непрерывна на (или);

4),

тогда сходимость (расходимость) равносильна сходимости (расходимости) (или) и

.

Доказательство вытекает из рассмотрения обычного интеграла Римана, в котором делаем замену переменной, а потом переходим к пределу, когда.

Пример. Обчислити інтеграл чи довести його розбіжність.

.

Отримана границя не існує, тому поданий інтеграл є розбіжним.

Дата добавления: 2014-01-04