Поняття особливої точки функції

План

Лекція 39. Невласні інтеграли ІІ роду

Вопросы

1. Что называется особой точкой функции? Привести примеры.
2. Определение несобственного интеграла ІІ рода.
3. Когда НИ ІІ рода называется сходящимся (расходящимся)? Привести примеры сходящихся (расходящихся) НИ ІІ рода?
4. Как вычисляется НИ ІІ рода, если особая точка подинтегральной функции является внутренней для сегмента интегрирования?
5. Как ведет себя в зависимости от значения параметра?
6. Как ведет себя в зависимости от значения параметра?
7. Как вычисляется НИ ІІ рода, если особых точек подинтегральной функции несколько?
8. Что можно сказать о сходимости интеграла?
9. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла ІІ рода.
10. Признак сравнения для НИ ІІ рода.

1. Поняття особливої точки функції
2. Визначення невласного інтегралу ІІ роду
3. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу ІІ роду

Припустимо, що функція визначена на, можливо за виключенням точки, неперервна на.

Визначення 1. Кажуть, що точка є особливою точкою для, якщо функція необмежена на і обмежена на (рис.1).

Рис.1.

З властивостей функції (неперервність на, а тому і на будь-якому сегменті) витікає існування звичайного інтеграла Римана

.

Визначення 2. Нехай є особливою точкою для. Тоді

(1)

називається невласним інтегралом ІІ роду і позначається.

Іноді для більшої наочності НІ ІІ роду позначається з виділенням особливої точки:

Визначення 3. Якщо існує (не існує) границя (1), то кажуть, що НІ ІІ роду збігається (розбігається).

Зауваження 1. Нехай особлива точка для функції є внутрішньою точкою сегмента інтегрування, тобто розглядається, а. Тоді шуканий інтеграл представляється у вигляді:

Відмітимо, що і незалежно одна від одної. Поданий інтеграл буде збігатися, якщо збігаються обидва інтеграли.

Приклад. Для інтеграла, який залежить від параметру, визначити коли цей інтеграл збігається? Поданий інтеграл при є звичайним інтегралом Римана, тому збігається, тому далі докладно розглядаємо випадок, коли. Підінтегральна функція є необмеженою на, якщо, отже в цьому випадку - особлива точка. Тоді

.

Розглянемо, коли:

.

Тепер треба визначити, коли існує:

Нехай тепер:

;

,

тобто для інтеграл є розбіжним.

Таким чином, обєднуючи всі отримані результати, маємо:

Зауваження 2. Абсолютно аналогічно попередньому прикладу поводе себе

для якого особливою точкою є точка.

Зауваження 3. Якщо для підінтегральна функція на має декілька особливих точок, то сегмент інтегрування розбивається на декілька сегментів так, щоб кожен з отриманих сегментів мав в своєму складі лише одну особливу точку, яка є одним з кінців цього сегмента. Наприклад, підінтегральна функція в інтегралі на сегменті інтегрування має дві особливі точки:, які не є кінцевими для сегмента. Тому при обчисленні спочатку треба:

.

Приклад. Розглянемо, де. Зясуємо, при яких значеннях параметру цей інтеграл є збіжним (розбіжним). Спочатку визначимося з тим, яким є цей інтеграл. Відмітимо, що для точка є особливою точкою підінтегральної функції, тому доцільним буде представлення цього інтегралу у вигляді:

. (3)

Для перший інтеграл в правій частині (3) – НІ ІІ роду, а другий – НІ І роду. Отже, поданий інтеграл є мішаним. Він буде збігатисялише тоді, коли збігаються обидва інтеграли в правій частині (3). збігається лише для, але для інтеграл є розбіжним. Тому поданий інтеграл не буде збігатися ні при якому, бо якщо збігається один інтеграл, розбігається інший і навпаки.

3.Критерій Коші збіжності невласного інтегралу ІІ роду.

Теорема 1 (критерій Коші збіжності невласного інтегралу ІІ роду). Для того, щоб збігався НІ (точка - особлива для підінтегральної функції), необхідно і достатньо, щоб

.

Доказ витікає з критерію існування границі функції в точці.

Розглянемо функцію. Ми знаємо, що

,

Теорема 2 (ознака порівняння для НІ ІІ роду). Нехай. Тоді:

1) якщо, то - збігається;

2) якщо, то - розбігається.

Дата добавления: 2014-01-04