Визначення невласного інтегралу І роду

План

Лекція 37. Невласні інтеграли І роду

Вопросы

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла І рода

При изучении свойств функции одной переменной было установлено, что для того, чтобы имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в этой точке, т.е. чтобы

для таких, что,, выполняется неравенство:

.

Сходимость НИ І рода эквивалентна существованию предела (1) функции одной переменной. Таким образом:

если для выполняется неравенство

,

то предел (1) суествует. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственного интеграла І рода). Для того, чтобы сходился несвойственный интеграл I рода необходимо и достаточно, чтобы

:.

3. Общее достаточное условие сходимости несобственного интеграла І рода

Теорема 2. Пусть функции определены на и выполняются следующие условия:

1),;

2) - сходится,

то сходится и.

Доказательство. Из сходимости интеграла по критерию Коши (теорема 1) вытекает, что

.

Учитывая условие 1) теоремы, имеем, что функция для, а это означает, что и, т.е. модуль в последнем неравенстве можно снять.

По свойствам интеграла Римана имеем:

.

Таким образом, для имеем выполнение критерия Коши сходимости.

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл, где. Выясним, при каких значениях параметра этот интеграл является сходящимся. Пусть сначала. В этом случае:

.

Полученный предел существует, а интеграл сходится, если, т.е.. Если, то интеграл расходится.

Осталось рассмотреть случай, когда:

.

Таким образом,

1. Определение несобственного интеграла І рода.

2. Условие Коши в точке для функции одной переменной.

3. Критерий существования предела функции одной переменной.

4. Когда несобственный интеграл І рода называется сходящимся (расходящимся)? Привести примеры сходящихся (расходящихся) несобственных интегралов.

5. Критерий Коши сходимости НИ І рода.

6. Как связаны сходимость (расходимость) интегралов?

7. Общее достаточное условие сходимости несобственного интеграла І рода.

1. Визначення невласного інтегралу І роду
2. Критерій Коші збіжності невласного інтегралу І роду
3. Загальна достатня умова збіжності невласного інтегралу І роду

Визначення 1. Нехай функція визначена на. Припустимо, що існує. Невласним інтегралом (НІ) I роду називається

, (1)

Якщо границя (1) існує, то кажуть, що НІ збігається, інакше – розбігається.

Зауваження. Якщо, то

,

і інтеграли збігається і розбігаються одночасно. Дійсно

.

Приклад. Обчислити чи довести розбіжність інтеграла.

,

Таким чином, поданий інтеграл збігається і дорівнює ½.

Дата добавления: 2014-01-04