Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора

Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ЛО). Инвариантные подпространства

Определение: Оператор A₁ (некая функция) перехода из одного линейного пространства в другое называется линейным, если выполняются два требования:

1.

2.

Пусть в пространстве есть базис , в пространстве базис и в пространстве -. И пусть имеется схема переходов между пространствами с помощью ЛО:

Разложим образы по базису :

(50.1)

Определение: Матрица вида (i-ый столбец которой есть координаты A₁(e_i)) по базису ) называется матрицей ЛО А₁ по базису .

Найдем преобразование координат:

Т.е. (50.2)

Можно записать иначе:

Теперь пусть A₃=A₂A₁, т.е. (по определению) A₃(x)=A₂(A₁(x)). Пусть ЛО А₂ имеет матрицу , т.е. (50.3)

Докажем, что преобразование A₃ имеет матрицу C=BA, т.е. найдем матрицу суперпозиции.

, где , т.е. BA=C (- матрица ЛО А₃ в базисе ).

Дата добавления: 2014-01-04