Теорема1 (о связи между непрерывностью и дифференцируемостью)

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке . Тогда, по определению, ее приращение можно представить в виде . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:

, что соответствует определению непрерывности функции.▲

Теорема 1 является необходимым (но не достаточным) признаком дифференцируемости функции в точке. Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Пример.

Рассмотрим функцию, непрерывную в нуле. Докажем, что функция не дифференцируема в т. х=0.

;

.

Т.к. односторонние пределы в нуле не равны, предел не существует.

Дата добавления: 2014-01-04