Понятие о вероятности

Закон распределения молекул по скоростям, только что полученный нами, удобно трактовать с несколько иной точки зрения, пользуясь понятием вероятности.

К этому термину мы прибегаем в тех случаях, когда идет речь о случайных событиях, т. е. таких событий, условия наступления которых по тем или иным причинам неизвестны и, которые, поэтому, нельзя заранее с уверенностью предсказать.

Приобретая, например, билет в трамвае, мы обычно заранее знаем, будет ли его номер четным, или нечетным. Поэтому такое «событие», как приобретение билета именно с четным номером можно считать событием случайным. Если повторять этот опыт (покупки билетов) достаточно большое число раз, то приблизительно в половине случаев билет будет иметь чётный номер. И чем больше будет число таких «опытов», тем ближе к половине будет доля билетов с четными номерами. В таком случае и говорят, что вероятность приобретения билета с четным номером равна.

Точно также, бросая много раз монету, мы можем быть уверены, что приблизительно в половине случаев она упадет обращенной вверх стороной с гербом. И это будет тем вернее, чем больше будет число бросаний.

Математической вероятностью события называется предел, к которому стремится отношение числа опытов, приводящих к его осуществлению, к общему числу опытов при беспредельном увеличении последнего.

Если из N опытов (или наблюдений) приводят к реализации интересующего нас события, то вероятность W этого события выражается формулой:

,

В рассмотренных нами случаях с номерами билетов или с монетой вероятность интересующего нас события была равна. Такова вероятность выпадения четного номера, такова же была вероятность нечетного номера. Одновременно билет не может быть четным и нечетным, такие события, которые не могут произойти одновременно, называются несовместимыми. Сумма этих двух вероятностей равна единице. Она, очевидно, дает нам вероятность «события», заключающегося в том, что билет будет иметь или четный, или нечетный номер. Но такое событие неизбежно, так что вероятность, равная единице, означает достоверность. Наоборот, если какое-то событие невозможно (например, полное отсутствие номера), то его вероятность равна нулю.

Таким образом, вероятность того что произойдет одно из нескольких несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Это теорема сложения вероятностей. В примере с билетами оба исхода являются равновозможными. Но так бывает не всегда. Например, вероятность того, что выйдя из дома вы встретите динозавра, несмотря на всего два возможных исхода, не равна.

Можно дать другое определение вероятностей.

Это и позволяет определить вероятность данного события, как отношение числа случаев, благоприятствующих его наступлению к общему числу возможных случаев, если все случаи равновозможны. Это определение вероятности принадлежит Лапласу. Оно, как легко видеть, не противоречит прежнему определению.

Рассмотрим случай сложного события, состоящего в совмещении двух или более независимых событий. События называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, наступит или не наступит любое другое.

Обращаясь к прежним примерам с билетами и стрелком, мы можем, например, поставить такую задачу: какова вероятность того, что по пути к стрельбищу дорогу стрелку перебежит черная кошка, а вслед затем его первый выстрел увенчается попаданием? Ясно, что эти два события являются независимыми.

Допустим, что для нашего стрелка вероятность P ₁ попадания равна 0,8. Это значит, что в среднем из 10 посещений стрельбища он в восьми случаях первым выстрелом попадает в цель. А вероятность того, что по дороге к стрельбищу ему дорогу перебежит черная кошка, равна P ₂ = 0,05. Искомая вероятность P _1,2 сложного события — совпадения четного номера и успешного выстрела равна произведению вероятностей каждого из них: P _1,2 = P ₁ · P ₂.

Вероятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них в отдельности.

Дата добавления: 2014-01-04