Распределение вероятностей

Пусть требуется найти вероятность W_u того, что молекула (безразлично какая, так как все молекулы одинаковы) обладает составляющей скорости u_х по оси x, лежащей в пределах от и_x до и_x + du_x. Если всего в единице объема находятся п молекул и из них dn_u обладают x -компонентой, лежащей в указанном интервале, то искомая вероятность равна отношению dn_u/п: Это как раз соответствует только что приведенному определению вероятности. В самом деле, ведь любая из п молекул может иметь составляющую u_х, лежащую в интересующем нас интервале. Значит, п — это общее число возможных случаев. В действительности же интересующее нас событие реализуется в dn_u случаях, следовательно, dn_u — это число «благоприятствующих» случаев.

Значит, отношение, которое мы раньше называли долей молекул, чьи значения u_х лежат в интервале и_x до и_x + du_x есть в то же время вероятность того, что любая из молекул обладает такой x -компонентой скорости.

Выражение P = соответствует и тому определению вероятности, которое было дано в начале параграфа.

Можно подойти к этому вопросу и иначе. Ввиду полной беспорядочности молекулярных движений можно считать, что каждая молекула при своем движении будет обладать, и не один, а много раз, всеми мыслимыми значениями u_x: одними чаще, другими реже, но всеми, потому что у нас нет оснований считать, что какие-то значения u_х для какой бы то ни было молекулы недоступны. Если бы мы могли наблюдать за одной какой-нибудь молекулой в течение очень длительного времени, то мы отметили бы, что какую-то часть этого времени молекула провела в состоянии с одним значением u _х, другим значением она обладала в течение другого промежутка времени и т. д. Ясно, что на долю тех значений, которыми молекула обладает чаще, приходится и большая часть общего времени наблюдения. Очевидно также, что эти значения (точнее интервалы значений) являются и более вероятными. Поэтому вероятность того, что молекула обладает x -компонентой скорости, значение которой лежит в определенном интервале значений, можно определить, как предел, к которому стремится отношение времени Δ t, в течение которого она обладает этим значением к общему времени наблюдения Т при беспредельном увеличении этого времени.

Результат, полученный таким образом, должен быть, конечно, тем же самым, что и при наблюдении одновременно за всеми молекулами, потому что наблюдать одновременно за всеми молекулами, или только за одной из них, но в течение очень долгого времени, в равной мере означает многократно повторять «опыт», как это и требуется для того, чтобы можно было говорить о вели­чине вероятности.

Итак, мы получили, что вероятность W_u того, что молекула имеет составляющую скорости по оси x в пределах от и до и + du, равна.

Очевидно, что эта вероятность тем больше, чем больше выбранный нами интервал значений компоненты du. Кроме того, вероятность W_u должна зависеть еще от самого значения составляющей и. Это значит, что коэффициент пропорциональности между и должен быть некоторой функцией от и, т.е..

Подобную формулу мы уже писали раньше и функцию f(и) мы тогда называли функцией распределения. Теперь мы видим, что она же определяет и вероятность. Поэтому ее часто называют также плотностью вероятности.

Такова вероятностная трактовка приведенного выше вывода закона распределения молекул по скоростям. Отметим, что законы молекулярной физики вообще носят вероятностный характер, так как при очень большом числе частиц только вероятностные суждения об их поведении и возможны. Нужно, однако, отметить, что вероятностный характер закономерностей молекулярной физики не наносит никакого ущерба их физической определенности и точности.

Дата добавления: 2014-01-04